Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=(t+1) \cos ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado pede que eu coloque a equação diferencial na forma x' = g(t)\,h(x) e a resolva pelo método de separação de variáveis. A equação dada é
x' = (t+1)\cos^{2}(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação já está no formato x' = g(t)\,h(x) com g(t)=t+1 e h(x)=\cos^{2}(x).
  • Preciso encontrar a solução geral por separação de variáveis, e lembrar de tratar casos em que não é possível dividir por h(x) (ou seja, onde \cos(x)=0).

Passo 2

Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática): para uma equação do tipo
x' = g(t)\,h(x)
a técnica é rearranjar para isolar x-dependências de um lado e t-dependências do outro, obtendo
\frac{dx}{h(x)} = g(t)\,dt,
e então integrar ambos os lados. Importante: só se pode dividir por h(x) quando h(x)\neq0. Se houver valores de x com h(x)=0, esses podem gerar soluções constantes que devem ser checadas separadamente.

Passo 3

Aplicando a separação à equação dada: como h(x)=\cos^{2}(x) e g(t)=t+1, escrevo
\frac{dx}{\cos^{2}(x)} = (t+1)\,dt.
Observe que \dfrac{1}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}^{2}(x). Agora integro ambos os lados (valendo-se de que estou trabalhando em um intervalo onde \cos(x)\neq0).

Passo 4

Cálculo das integrais (mostrando passo a passo):
  • Integral do lado esquerdo:
\int \frac{dx}{\cos^{2}(x)} = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \tan(x) + C_1,
pois a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^{2}(x).
  • Integral do lado direito:
\int (t+1)\,dt = \frac{t^{2}}{2} + t + C_2.
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ( C=C_2-C_1) obtemos a forma implícita da solução:
\tan(x) = \frac{t^{2}}{2} + t + C.

Passo 5

Passando para a forma explícita para x(t): a equação \tan(x)=\dfrac{t^{2}}{2}+t+C implica
x(t) = \arctan\!\left(\frac{t^{2}}{2}+t+C\right) + k\pi,
onde k\in\mathbb{Z} representa a periodicidade de \tan (ou seja, pode somar múltiplos inteiros de \pi sem alterar \tan(x)). Essa forma explícita é válida em intervalos onde \cos(x)\neq0. Além disso, é preciso incluir as soluções constantes que ficaram fora da divisão por \cos^{2}(x): quando \cos^{2}(x)=0 temos x constante igual a
x(t)=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
essas satisfazem x'=0 e portanto são soluções válidas da equação original.

Passo 6

Conclusão e observações finais (didáticas e práticas para a prova):
  • A solução geral implícita é \tan(x)=\dfrac{t^{2}}{2}+t+C.
  • A solução explícita é x(t)=\arctan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+t+C\right)+k\pi.
  • Não esquecer das soluções constantes x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, que surgem porque aí \cos^{2}(x)=0 e a separação original não permite dividir por zero.
  • Se for dado um valor inicial x(t_0)=x_0, determina-se C resolvendo \tan(x_0)=\dfrac{t_0^{2}}{2}+t_0+C; o índice k é escolhido para que x(t_0) pertença ao ramo correto de \arctan mais o múltiplo de \pi.

Resposta

\tan(x)=\dfrac{t^{2}}{2}+t+C
\displaystyle x(t)=\arctan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+t+C\right)+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}
\displaystyle x(t)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}

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