Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu coloque a equação diferencial na forma
e a resolva pelo método de separação de variáveis. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A equação já está no formato
com e . - Preciso encontrar a solução geral por separação de variáveis, e lembrar de tratar casos em que não é possível dividir por
(ou seja, onde ).
Passo 2
Ideia do método de separação de variáveis (explicação didática): para uma equação do tipo
a técnica é rearranjar para isolar
-dependências de um lado e
-dependências do outro, obtendo
e então integrar ambos os lados. Importante: só se pode dividir por
quando
. Se houver valores de
com
, esses podem gerar soluções constantes que devem ser checadas separadamente.
Passo 3
Aplicando a separação à equação dada: como
e
, escrevo
Observe que
. Agora integro ambos os lados (valendo-se de que estou trabalhando em um intervalo onde
).
Passo 4
Cálculo das integrais (mostrando passo a passo):
- Integral do lado esquerdo:
pois a derivada de
é
.
- Integral do lado direito:
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração (
) obtemos a forma implícita da solução:
Passo 5
Passando para a forma explícita para
: a equação
implica
onde
representa a periodicidade de
(ou seja, pode somar múltiplos inteiros de
sem alterar
). Essa forma explícita é válida em intervalos onde
. Além disso, é preciso incluir as soluções constantes que ficaram fora da divisão por
: quando
temos
constante igual a
essas satisfazem
e portanto são soluções válidas da equação original.
Passo 6
Conclusão e observações finais (didáticas e práticas para a prova):
- A solução geral implícita é
. - A solução explícita é
. - Não esquecer das soluções constantes
, que surgem porque aí e a separação original não permite dividir por zero. - Se for dado um valor inicial
, determina-se resolvendo ; o índice é escolhido para que pertença ao ramo correto de mais o múltiplo de .