Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede: (i) colocar na forma
e (ii) resolver pelo método de separação de variáveis. Informações fornecidas: a equação é de primeira ordem, o lado direito depende apenas de
. O objetivo final é obter a solução geral
.
Passo 2
Colocar em forma multiplicativa
. Como o lado direito
depende somente de
, uma escolha natural é
ou seja
Isto satisfaz a exigência
. Explicação rápida: sempre que o RHS depende só de
pode-se tomar
.
Passo 3
Aplicar o método de separação de variáveis: escrever a diferencial com os termos em
de um lado e em
do outro. Usando
,
e isolamos os termos em
:
Isto é a etapa-chave da separação: colocar
sobre uma função de
igual a uma função de
vezes
. Aqui a função de
é
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vamos explicar como integrar o lado esquerdo com calma. Considere a integral
Uma maneira simples é fazer a substituição linear
, então
ou
. Assim
Voltando a
,
No lado direito,
Juntando as integrais (podemos agrupar as constantes em uma só constante arbitrária):
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Resolver para
. Multiplique por
:
Defina
(ainda uma constante arbitrária), então
Aplicando exponencial em ambos os lados:
Chamando
(constante positiva), podemos absorver o sinal possível numa constante real
que pode ser qualquer número não nulo; portanto escrevemos diretamente
onde
é uma constante real arbitrária (inclui
se a constante positiva anterior for zero no limite). Finalmente isolando
:
com
constante arbitrária real.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): diferencie
:
Calcule
:
Logo
, a solução verifica a equação, como esperado.