Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=3 x-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x'(t)=3x(t)-2,
e pede: (i) colocar na forma x'=g(t)\,h(x) e (ii) resolver pelo método de separação de variáveis. Informações fornecidas: a equação é de primeira ordem, o lado direito depende apenas de x. O objetivo final é obter a solução geral x(t).

Passo 2

Colocar em forma multiplicativa x'=g(t)\,h(x). Como o lado direito 3x-2 depende somente de x, uma escolha natural é
g(t)=1,\qquad h(x)=3x-2,
ou seja
x'(t)=1\cdot(3x(t)-2).
Isto satisfaz a exigência x'=g(t)\,h(x). Explicação rápida: sempre que o RHS depende só de x pode-se tomar g(t)=1.

Passo 3

Aplicar o método de separação de variáveis: escrever a diferencial com os termos em x de um lado e em t do outro. Usando x'=\dfrac{dx}{dt},
\frac{dx}{dt}=3x-2
e isolamos os termos em x:
\frac{dx}{3x-2}=dt.
Isto é a etapa-chave da separação: colocar \,dx sobre uma função de x igual a uma função de t vezes dt. Aqui a função de t é 1.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vamos explicar como integrar o lado esquerdo com calma. Considere a integral
\int \frac{dx}{3x-2}.
Uma maneira simples é fazer a substituição linear u=3x-2, então du=3\,dx ou dx=\dfrac{du}{3}. Assim
\int \frac{dx}{3x-2}=\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln|u|+C.
Voltando a x,
\int \frac{dx}{3x-2}=\frac{1}{3}\ln|3x-2|+C.
No lado direito,
\int dt = t + C'.
Juntando as integrais (podemos agrupar as constantes em uma só constante arbitrária):
\frac{1}{3}\ln|3x-2|=t+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Resolver para x. Multiplique por 3:
\ln|3x-2|=3t+3C.
Defina C_1=3C (ainda uma constante arbitrária), então
\ln|3x-2|=3t+C_1.
Aplicando exponencial em ambos os lados:
|3x-2|=e^{3t+C_1}=e^{C_1}e^{3t}.
Chamando C_2=e^{C_1} (constante positiva), podemos absorver o sinal possível numa constante real C que pode ser qualquer número não nulo; portanto escrevemos diretamente
3x-2 = C e^{3t},
onde C é uma constante real arbitrária (inclui C=0 se a constante positiva anterior for zero no limite). Finalmente isolando x:
x(t)=\frac{2+ C e^{3t}}{3}=\frac{2}{3}+A e^{3t},
com A=\dfrac{C}{3} constante arbitrária real.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): diferencie x(t)=\dfrac{2}{3}+A e^{3t}:
x'(t)=3A e^{3t}.
Calcule 3x(t)-2:
3x(t)-2=3\left(\frac{2}{3}+A e^{3t}\right)-2=2+3A e^{3t}-2=3A e^{3t}.
Logo x'(t)=3x(t)-2, a solução verifica a equação, como esperado.

Resposta

x(t)=\dfrac{2}{3}+A e^{3t}, com A\in\mathbb{R} sendo constante arbitrária.

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