Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=x \cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x' = x\cos(t)
e pede para colocá-la na forma x' = g(t)\,h(x) e resolver pelo método de separação de variáveis.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função x(t).
  • A derivada é com respeito a t: x'=\dfrac{dx}{dt}.
  • Deve-se usar separação de variáveis para obter a solução geral.

Passo 2

Colocar na forma x' = g(t)\,h(x). Aqui podemos identificar diretamente:
g(t)=\cos(t),\qquad h(x)=x,
pois a equação já está escrita como x' = \cos(t)\cdot x.

Passo 3

Separar variáveis: escrever todos os termos com x num lado e os com t no outro. Partimos de
\frac{dx}{dt}=x\cos(t).
Para separar, dividimos ambos os lados por x (atenção: essa divisão só é válida quando x\neq0; o caso x\equiv0 deve ser considerado separadamente) e multiplicamos por dt:
\frac{1}{x}\,dx=\cos(t)\,dt.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Uso das primitivas:
  • \displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C_1. Explicação rápida: a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq0; o valor absoluto aparece porque \ln só aceita argumentos positivos.
  • \displaystyle\int \cos(t)\,dt=\sin(t)+C_2.
Integrando as duas parcelas obtemos
\ln|x| = \sin(t) + C,
onde C=C_2-C_1 é uma constante arbitrária (combinação dos constantes de integração).

Passo 5

Resolver para x. Exponenciando ambos os lados:
|x| = e^{\sin(t)+C} = e^{C}e^{\sin(t)}.
Defina K=e^{C}>0. Assim |x|=K e^{\sin(t)}, o que dá x=\pm K e^{\sin(t)}. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária C\in\mathbb{R} (agora C pode ser qualquer número real, inclusive 0), obtemos a forma mais prática da solução geral:
x(t)=C\,e^{\sin(t)},\qquad C\in\mathbb{R}.
Observação: o caso x\equiv0 está incluído aqui com C=0. A solução é válida para todo t, pois e^{\sin(t)}>0 sempre.

Passo 6

Comentário didático rápido e exemplo: se o problema trouxesse uma condição inicial x(t_0)=x_0, então basta substituir:
x_0 = C e^{\sin(t_0)} \quad\Rightarrow\quad C = x_0\,e^{-\sin(t_0)},
e a solução particular seria x(t)=x_0\,e^{\sin(t)-\sin(t_0)}. Um caso simples: se x(0)=2 então C=2 e x(t)=2e^{\sin(t)}.

Resposta

x(t)=C\,e^{\sin(t)},\; C\in\mathbb{R}

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