Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para colocá-la na forma
e resolver pelo método de separação de variáveis.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A derivada é com respeito a
: . - Deve-se usar separação de variáveis para obter a solução geral.
Passo 2
Colocar na forma
. Aqui podemos identificar diretamente:
pois a equação já está escrita como
.
Passo 3
Separar variáveis: escrever todos os termos com
num lado e os com
no outro. Partimos de
Para separar, dividimos ambos os lados por
(atenção: essa divisão só é válida quando
; o caso
deve ser considerado separadamente) e multiplicamos por
:
Passo 4
Integrar ambos os lados. Uso das primitivas:
-
. Explicação rápida: a derivada de é para ; o valor absoluto aparece porque só aceita argumentos positivos. -
.
Integrando as duas parcelas obtemos
onde
é uma constante arbitrária (combinação dos constantes de integração).
Passo 5
Resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Defina
. Assim
, o que dá
. Absorvendo o sinal em uma constante arbitrária
(agora
pode ser qualquer número real, inclusive
), obtemos a forma mais prática da solução geral:
Observação: o caso
está incluído aqui com
. A solução é válida para todo
, pois
sempre.
Passo 6
Comentário didático rápido e exemplo: se o problema trouxesse uma condição inicial
, então basta substituir:
e a solução particular seria
. Um caso simples: se
então
e
.