Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede duas coisas: (i) escrever na forma
e (ii) resolver por separação de variáveis. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral.
Passo 2
Reescrevendo a expressão do lado direito por fatoração em comum:
Assim identificamos explicitamente
porque o lado direito é produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
.
Passo 3
Agora passamos para a ideia de separação de variáveis. Escrevendo
temos
Como
para todo
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Isto é a separação: todos os termos com
à esquerda e todos os termos com
à direita.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Lembrando que
e que
, temos
onde
é constante de integração (pode-se também escrever
em vez de
).
Passo 5
Isolando
aplicando a tangente em ambos os lados (função inversa do
):
Aqui
é a constante arbitrária da família de soluções. Observação prática: a função
tem assíntotas verticais quando o argumento é
; portanto cada solução é válida em intervalos de
onde
evita esses pontos.
Passo 6
Cheque rápido por derivação (verificação): seja
. Pela regra da cadeia,
e como
e
, obtemos
confirmando que a solução encontrada é correta.
Passo 7
Se houvesse uma condição inicial
, determinaria a constante por