Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=t+t x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x' = t + t x^{2}
e pede duas coisas: (i) escrever na forma \,x'=g(t)\,h(x)\, e (ii) resolver por separação de variáveis. Não há condição inicial fornecida, então procuramos a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo a expressão do lado direito por fatoração em comum:
x' = t + t x^{2} = t\,(1+x^{2}).
Assim identificamos explicitamente
g(t)=t,\qquad h(x)=1+x^{2},
porque o lado direito é produto de uma função que depende só de t e outra que depende só de x.

Passo 3

Agora passamos para a ideia de separação de variáveis. Escrevendo x'=\dfrac{dx}{dt} temos
\frac{dx}{dt}=t\,(1+x^{2}).
Como 1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}, podemos dividir ambos os lados por 1+x^{2} e obter
\frac{dx}{1+x^{2}}=t\,dt.
Isto é a separação: todos os termos com x à esquerda e todos os termos com t à direita.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Lembrando que \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}} e que \int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2}, temos
\int\frac{dx}{1+x^{2}}=\int t\,dt
\arctan x = \frac{t^{2}}{2} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (pode-se também escrever C em vez de C_{1}).

Passo 5

Isolando x aplicando a tangente em ambos os lados (função inversa do \arctan):
x = \tan\!\left(\frac{t^{2}}{2} + C_{1}\right).
Aqui C_{1}\in\mathbb{R} é a constante arbitrária da família de soluções. Observação prática: a função \tan tem assíntotas verticais quando o argumento é \dfrac{\pi}{2}+k\pi; portanto cada solução é válida em intervalos de t onde \dfrac{t^{2}}{2}+C_{1} evita esses pontos.

Passo 6

Cheque rápido por derivação (verificação): seja x(t)=\tan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+C_{1}\right). Pela regra da cadeia,
x'(t)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t^{2}}{2}+C_{1}\right)\cdot t
e como \operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta e \tan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+C_{1}\right)=x, obtemos
x' = t\,(1+x^{2}),
confirmando que a solução encontrada é correta.

Passo 7

Se houvesse uma condição inicial x(t_{0})=x_{0}, determinaria a constante por
C_{1}=\arctan(x_{0})-\frac{t_{0}^{2}}{2}.

Resposta

g(t)=t,\\ h(x)=1+x^{2}
x(t)=\tan\!\left(\dfrac{t^{2}}{2}+C\right)

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