Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=\frac{t}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
x'=\frac{t}{x}.
O que se pede: escrever na forma x'=g(t)\,h(x) e resolver por separação de variáveis, isto é, encontrar a família geral de soluções x(t). As informações relevantes fornecidas são:
  • a variável dependente é x (função de t);
  • a variável independente é t;
  • a equação envolve a razão t/x, logo haverá uma restrição óbvia: x não pode ser 0 no domínio onde aplicamos a fórmula (pois dividir por zero não faz sentido).

Passo 2

Identificar g(t) e h(x). Reescrevendo a equação,
x' = \frac{t}{x} = \bigl(t\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Portanto podemos tomar
g(t)=t,\qquad h(x)=\tfrac{1}{x}.
Observação importante: h(x)=\tfrac{1}{x} está definida somente para x\neq 0. Assim as soluções obtidas por separação serão válidas em intervalos onde x(t)\neq 0.

Passo 3

Fazer a separação de variáveis. Escrevemos x'=\dfrac{dx}{dt} e separamos x e t:
\frac{dx}{dt}=\frac{t}{x} \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = t\,dt.
Explicação didática: multiplicou-se ambos os lados por x\,dt (válido enquanto x\neq 0) para agrupar todos os termos com x de um lado e com t do outro — isso é o núcleo do método de separação de variáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Aplicamos integrais indefinidas em x e t:
\int x\,dx = \int t\,dt.
Calculemos as primitivas explicitamente:
\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}t^2 + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). Dá para simplificar multiplicando por 2:
x^2 = t^2 + C_1,
onde C_1=2C é outra constante real arbitrária.

Passo 5

Isolar x para obter a solução explícita. Tirando raiz quadrada (lembrando das duas possíveis escolhas de sinal) obtemos
x(t)=\pm\sqrt{t^2 + C_1}.
Observações pedagógicas:
  • A condição t^2 + C_1\ge 0 deve valer para os t do domínio da solução; como C_1 é livre, pode-se escolher o domínio compatível.
  • A escolha do sinal + ou - é fixada pela condição inicial: se for dada x(t_0)=x_0 com x_0>0 escolhe-se o ramo +, se x_0<0 escolhe-se o ramo -.
  • Não é possível trocar o sinal no mesmo intervalo contínuo, pois para trocar seria necessário que x cruzasse 0, mas x=0 não é permitido na equação original.

Passo 6

Resumo final em forma implícita e explícita (útil para a prova). A solução geral implícita é
x^2 - t^2 = C_1,
e a forma explícita é
x(t)=\pm\sqrt{t^2 + C_1},
com C_1\in\mathbb{R} e domínio escolhido de modo que t^2+C_1\ge 0 e x(t)\neq 0 no intervalo considerado. Boa dica para a prova: ao receber uma condição inicial, determine C_1 substituindo t e x e escolha o sinal compatível com x(t_0).

Resposta

x^2=t^2+C
x(t)=\pm\sqrt{t^2+C}, com C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados