Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
O que se pede: escrever na forma
e resolver por separação de variáveis, isto é, encontrar a família geral de soluções
. As informações relevantes fornecidas são:
- a variável dependente é
(função de ); - a variável independente é
; - a equação envolve a razão
, logo haverá uma restrição óbvia: não pode ser no domínio onde aplicamos a fórmula (pois dividir por zero não faz sentido).
Passo 2
Identificar
e
. Reescrevendo a equação,
Portanto podemos tomar
Observação importante:
está definida somente para
. Assim as soluções obtidas por separação serão válidas em intervalos onde
.
Passo 3
Fazer a separação de variáveis. Escrevemos
e separamos
e
:
Explicação didática: multiplicou-se ambos os lados por
(válido enquanto
) para agrupar todos os termos com
de um lado e com
do outro — isso é o núcleo do método de separação de variáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Aplicamos integrais indefinidas em
e
:
Calculemos as primitivas explicitamente:
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário). Dá para simplificar multiplicando por
:
onde
é outra constante real arbitrária.
Passo 5
Isolar
para obter a solução explícita. Tirando raiz quadrada (lembrando das duas possíveis escolhas de sinal) obtemos
Observações pedagógicas:
- A condição
deve valer para os do domínio da solução; como é livre, pode-se escolher o domínio compatível. - A escolha do sinal
ou é fixada pela condição inicial: se for dada com escolhe-se o ramo , se escolhe-se o ramo . - Não é possível trocar o sinal no mesmo intervalo contínuo, pois para trocar seria necessário que
cruzasse , mas não é permitido na equação original.
Passo 6
Resumo final em forma implícita e explícita (útil para a prova). A solução geral implícita é
e a forma explícita é
com
e domínio escolhido de modo que
e
no intervalo considerado. Boa dica para a prova: ao receber uma condição inicial, determine
substituindo
e
e escolha o sinal compatível com
.