Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
O que pede: (i) escrever a EDO na forma
e (ii) resolver usando separação de variáveis, obtendo a solução geral
. As informações fornecidas são somente a própria equação acima; não há condição inicial.
Passo 2
Reescrever na forma
. Observando a equação, o lado direito depende apenas de
, logo podemos escolher
pois
Ou seja, a equação já está na forma desejada com
e
.
Passo 3
Explicando o método de separação de variáveis (passo-a-passo didático):
- Se uma equação tem a forma
, isso significa . - Desde que
no intervalo considerado, podemos separar as variáveis colocando todos os termos em num lado e todos os termos em no outro:
- Então integramos ambos os lados:
. - Após integrar, resolvemos a equação resultante para
em função de , e introduzimos a constante de integração .
Passo 4
Aplicando o método à nossa equação. Como
e
, separamos:
Agora integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é a primitiva de
, que é
. A integral do lado direito é
, mais uma constante de integração. Portanto obtemos
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 5
Isolando
a partir de
:
- Exponenciando ambos os lados:
- Definindo
, tem-se . - Retirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades que podem ser absorvidas numa única constante real
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
onde
. Observação: a escolha
corresponde à solução particular
, que também satisfaz a EDO.
- Finalmente,
com
constante arbitrária real.
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança): diferencie a solução
:
Agora calcule
. Portanto
, logo a solução satisfaz a equação diferencial corretamente.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (curto e direto, estilo amigo que anima):
- Sempre tente ver se dá para escrever
. Se depender só de , escolha . - Separe em
, integre e cuide da constante e do valor absoluto. - Se a integral de
for complicada, pense em substituições; aqui foi simples — um bom “treino” para ganhar velocidade.