Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
x^{\prime}=x+5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{\prime}=x+5.
O que pede: (i) escrever a EDO na forma x^{\prime}=g(t)\,h(x) e (ii) resolver usando separação de variáveis, obtendo a solução geral x(t). As informações fornecidas são somente a própria equação acima; não há condição inicial.

Passo 2

Reescrever na forma x^{\prime}=g(t)\,h(x). Observando a equação, o lado direito depende apenas de x, logo podemos escolher
g(t)=1,\qquad h(x)=x+5,
pois
x^{\prime}=1\cdot(x+5).
Ou seja, a equação já está na forma desejada com g(t)=1 e h(x)=x+5.

Passo 3

Explicando o método de separação de variáveis (passo-a-passo didático):
  • Se uma equação tem a forma \,x^{\prime}=g(t)\,h(x)\,, isso significa \dfrac{dx}{dt}=g(t)\,h(x).
  • Desde que h(x)\neq0 no intervalo considerado, podemos separar as variáveis colocando todos os termos em x num lado e todos os termos em t no outro:
\frac{dx}{h(x)} = g(t)\,dt.
  • Então integramos ambos os lados: \displaystyle \int \frac{dx}{h(x)} = \int g(t)\,dt.
  • Após integrar, resolvemos a equação resultante para x em função de t, e introduzimos a constante de integração C.

Passo 4

Aplicando o método à nossa equação. Como g(t)=1 e h(x)=x+5, separamos:
\frac{dx}{x+5}=dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x+5} = \int dt.
A integral do lado esquerdo é a primitiva de \dfrac{1}{x+5}, que é \ln|x+5|. A integral do lado direito é t, mais uma constante de integração. Portanto obtemos
\ln|x+5| = t + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 5

Isolando x a partir de \ln|x+5| = t + C:
  • Exponenciando ambos os lados:
|x+5| = e^{t+C} = e^{C}\,e^{t}.
  • Definindo C_{1}=e^{C}>0, tem-se |x+5|=C_{1}e^{t}.
  • Retirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades que podem ser absorvidas numa única constante real C (que pode ser positiva, negativa ou zero):
x+5 = C e^{t},
onde C\in\mathbb{R}. Observação: a escolha C=0 corresponde à solução particular x(t)=-5, que também satisfaz a EDO.
  • Finalmente,
x(t) = C e^{t} - 5,
com C constante arbitrária real.

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): diferencie a solução x(t)=C e^{t}-5:
x^{\prime}(t)=C e^{t}.
Agora calcule x(t)+5 = C e^{t}-5+5 = C e^{t}. Portanto x^{\prime}(t)=x(t)+5, logo a solução satisfaz a equação diferencial corretamente.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (curto e direto, estilo amigo que anima):
  • Sempre tente ver se dá para escrever x^{\prime}=g(t)h(x). Se depender só de x, escolha g(t)=1.
  • Separe em \dfrac{dx}{h(x)}=g(t)\,dt, integre e cuide da constante e do valor absoluto.
  • Se a integral de 1/h(x) for complicada, pense em substituições; aqui foi simples — um bom “treino” para ganhar velocidade.

Resposta

x(t)=C e^{t}-5

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