Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar se essa equação é separável. Informações que temos:
- A incógnita é
dependente de ; . - O lado direito é
.
O que se pede: responder se a equação é separável e, se for, obter a separação e a solução (implícita ou explícita).
Passo 2
O que significa “separável”? Uma equação do tipo
é separável se der para escrevê-la na forma
ou, equivalentemente,
onde o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Isso permite integrar cada lado em sua variável. Aqui:
-
e são funções que dependem só de ; -
e dependem só de .
A ideia prática: manipular a equação multiplicando/dividindo por termos que dependem apenas deou apenas de até obter uma igualdade entre uma forma em e uma forma em .
Passo 3
Vamos reescrever a equação e tentar separar:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso só vale onde
) e por
, obtemos
Agora o lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
. Portanto a equação é separável (no conjunto onde
).
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Calculemos as integrais passo a passo:
-
, porque a derivada de é . -
, porque a derivada de é .
Igualando e combinando constantes (
), obtemos a solução implícita
ou, reescrevendo,
onde
é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial.
Passo 5
Podemos tentar isolar
explicitamente:
desde que o argumento de
esteja em
:
Observações importantes sobre domínio e validade:
- A manipulação que multiplicou por
exige no intervalo em que a solução é válida, porque onde a equação original não está bem definida. - A solução implícita
é a forma mais segura para descrever as soluções; a forma explícita com precisa do cuidado com o domínio e com a possível escolha de ramo da função inversa. - Não existem soluções constantes
válidas para todo , pois isso exigiria para todo , o que não ocorre.
Resposta
Sim. A equação é separável; a solução implícita é
.