Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável.
x^{\prime}=\frac{\operatorname{sen}(t)}{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x'=\frac{\operatorname{sen}(t)}{\cos(x)}
e pede para determinar se essa equação é separável. Informações que temos:
  • A incógnita é x dependente de t; x'=\dfrac{dx}{dt}.
  • O lado direito é \dfrac{\operatorname{sen}(t)}{\cos(x)}.
    O que se pede: responder se a equação é separável e, se for, obter a separação e a solução (implícita ou explícita).

Passo 2

O que significa “separável”? Uma equação do tipo \dfrac{dx}{dt}=F(t,x) é separável se der para escrevê-la na forma
\varphi(x)\,\frac{dx}{dt}=\psi(t)
ou, equivalentemente,
\Phi(x)\,dx=\Psi(t)\,dt,
onde o lado esquerdo depende só de x e o direito só de t. Isso permite integrar cada lado em sua variável. Aqui:
  • \varphi(x) e \Phi(x) são funções que dependem só de x;
  • \psi(t) e \Psi(t) dependem só de t.
    A ideia prática: manipular a equação multiplicando/dividindo por termos que dependem apenas de x ou apenas de t até obter uma igualdade entre uma forma em x e uma forma em t.

Passo 3

Vamos reescrever a equação e tentar separar:
\frac{dx}{dt}=\frac{\operatorname{sen}(t)}{\cos(x)}.
Multiplicando ambos os lados por \cos(x) (lembrando que isso só vale onde \cos(x)\neq0) e por dt, obtemos
\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(t)\,dt.
Agora o lado esquerdo depende apenas de x e o direito apenas de t. Portanto a equação é separável (no conjunto onde \cos(x)\neq0).

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int \cos(x)\,dx=\int \operatorname{sen}(t)\,dt.
Calculemos as integrais passo a passo:
  • \displaystyle \int \cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C_1, porque a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x).
  • \displaystyle \int \operatorname{sen}(t)\,dt=-\cos(t)+C_2, porque a derivada de -\cos(t) é \operatorname{sen}(t).
Igualando e combinando constantes ( C=C_2-C_1), obtemos a solução implícita
\operatorname{sen}(x) = -\cos(t) + C,
ou, reescrevendo,
\operatorname{sen}(x)+\cos(t)=C,
onde C é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial.

Passo 5

Podemos tentar isolar x explicitamente:
x(t)=\operatorname{arcsen}\bigl(C-\cos(t)\bigr),
desde que o argumento de \operatorname{arcsen} esteja em [-1,1]:
-1 \le C-\cos(t) \le 1\quad\text{para os \(t\) considerados.}
Observações importantes sobre domínio e validade:
  • A manipulação que multiplicou por \cos(x) exige \cos(x)\neq0 no intervalo em que a solução é válida, porque onde \cos(x)=0 a equação original não está bem definida.
  • A solução implícita \operatorname{sen}(x)+\cos(t)=C é a forma mais segura para descrever as soluções; a forma explícita com \operatorname{arcsen} precisa do cuidado com o domínio e com a possível escolha de ramo da função inversa.
  • Não existem soluções constantes x(t)\equiv x_0 válidas para todo t, pois isso exigiria \operatorname{sen}(t)=0 para todo t, o que não ocorre.

Resposta

Sim. A equação é separável; a solução implícita é \operatorname{sen}(x)+\cos(t)=C.

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