Nos problemas a seguir, determine se a equação é separável. x^{\prime}=\frac{x+1}{t+1}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x'=\frac{x+1}{t+1}
e pede para determinar se essa equação é separável.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A incógnita é x dependente de t.
A derivada é \;x'=\dfrac{dx}{dt}\;.
O termo do lado direito é \dfrac{x+1}{t+1}.
O que se pede: responder se a equação é do tipo separável (ou seja, se é possível escrever o lado direito como produto de uma função só de t por uma função só de x) — e, como ensino passo a passo, também mostrar como resolveria essa equação na prova.
Passo 2
O que significa “equação separável”?
Uma equação ordinária de primeira ordem é separável se puder ser posta na forma
\frac{dx}{dt}=f(t)\,g(x),
onde f(t) depende somente de t e g(x) depende somente de x. Nesse caso procedemos separando as variáveis:
\frac{1}{g(x)}\,dx=f(t)\,dt,
e integramos ambos os lados.
Observação didática: a ideia é mover todos os fatores com x para o lado dx e todos os fatores com t para o lado dt, porque assim reduzimos a equação a integrais em uma única variável.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, escrevemos a equação dada como
\frac{dx}{dt}=\frac{x+1}{t+1}.
Agora tente escrever o lado direito como produto de uma função só de t por uma só de x. Note que
Aqui \dfrac{1}{t+1} depende apenas de t e (x+1) depende apenas de x. Portanto o lado direito já está na forma f(t)\,g(x). Conclusão intermédiária: a equação é separável.
Passo 4
Agora mostro passo a passo como resolver (útil para a prova). Partimos de
\frac{dx}{dt}=\frac{x+1}{t+1}.
Separe as variáveis: divida ambos os lados por (x+1) e multiplique por dt:
\frac{1}{x+1}\,dx=\frac{1}{t+1}\,dt.
Isso é permitido sempre que x+1\neq 0 e t+1\neq 0; mais adiante tratamos a solução constante x=-1 separadamente.
Passo 5
Integre ambos os lados. A integral de \dfrac{1}{u}\,du é \ln|u|, então
\int \frac{1}{x+1}\,dx = \int \frac{1}{t+1}\,dt.
Efetuando as integrais:
\ln|x+1| = \ln|t+1| + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.
Passo 6
Simplifique a expressão exponenciando ambos os lados. Podemos escrever
\ln\!\bigl|x+1\bigr|-\ln\!\bigl|t+1\bigr|=C
o que dá
\ln\!\left(\frac{|x+1|}{|t+1|}\right)=C.
Logo
\frac{|x+1|}{|t+1|}=e^{C}=K>0.
Incorporando o sinal em K e permitindo K real arbitrário (incluindo 0), a forma mais simples para a solução geral é
x+1 = C\,(t+1),
onde C é constante real. Assim
x(t)=C\,(t+1)-1.
Passo 7
Discussões finais sobre domínio e soluções especiais:
A equação original tem problema em t=-1 (o lado direito fica com denominador zero). Portanto as soluções são consideradas em intervalos que não contêm t=-1.
A solução constante x=-1 é obtida escolhendo C=0 em x+1=C(t+1); de fato x(t)\equiv -1 satisfaz a equação para t\neq -1.
Conclusão prática: a equação é separável e sua solução geral (em qualquer intervalo que não contenha t=-1) é x(t)=C(t+1)-1.
Resposta
Sim; a equação é separável. Solução geral: x(t)=C\,(t+1)-1, com t\neq -1 e C\in\mathbb{R}.