Coloque as equações diferenciais na forma x^{\prime}=g(t) h(x) e resolva pelo método de separação de variáveis.
\quad x^{\prime}=2-t x^{2}-t+2 x^{2} \quad Dica: fatorizar

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x' = 2 - t x^{2} - t + 2 x^{2}.
O que se pede:
  • Colocar a equação na forma \,x' = g(t)\,h(x)\,.
  • Resolver a equação pelo método de separação de variáveis (isto é, obter a solução geral x(t)).
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial ordinária de primeira ordem com derivada de x em relação a t, sem condição inicial. Dica do enunciado: fatorizar termos.

Passo 2

Vamos fatorizar a expressão do lado direito. Primeiro reagrupo termos semelhantes:
2 - t x^{2} - t + 2 x^{2} = (2 - t) + (-t x^{2} + 2 x^{2}).
Coloco em evidência x^{2} no segundo parêntese:
(-t x^{2} + 2 x^{2}) = x^{2}(2 - t).
Agora fatorando (2 - t) em comum:
(2 - t) + x^{2}(2 - t) = (2 - t)\,(1 + x^{2}).
Portanto a equação fica na forma desejada com
g(t) = 2 - t,\qquad h(x)=1+x^{2},
ou seja
x' = (2 - t)\,(1+x^{2}).

Passo 3

Explico a ideia da separação de variáveis (passo didático):
  • Quando uma equação pode ser escrita x' = g(t)\,h(x), podemos dividir ambos os lados por h(x) e multiplicar por dt para obter termos só em x de um lado e só em t do outro.
    Aplicando isso:
\frac{dx}{dt} = (2 - t)(1 + x^{2})
passa para
\frac{dx}{1 + x^{2}} = (2 - t)\,dt.
Agora os termos em x estão no lado esquerdo e os termos em t no lado direito — prontos para integrar.

Passo 4

Integro ambos os lados. Primeiro explico as integrais:
  • \displaystyle\int \frac{dx}{1+x^{2}} = \arctan(x) + C, porque \dfrac{d}{dx}\big(\arctan x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • \displaystyle\int (2 - t)\,dt = \int 2\,dt - \int t\,dt = 2t - \frac{t^{2}}{2} + C.
Fazendo as integrais (colocando uma constante só no final):
\arctan(x) = 2t - \frac{t^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 5

Para obter x em função de t, aplico a função tangente aos dois lados (função inversa do \arctan). Observação importante sobre domínio: a tangente tem descontinuidades quando o argumento atinge \frac{\pi}{2}+k\pi; portanto a solução explícita será válida enquanto o argumento 2t-\tfrac{t^{2}}{2}+C não atingir esses pontos. Para problemas com condição inicial, determina-se C de modo que a solução seja válida num intervalo contendo o ponto inicial.

Passo 6

Resumo dos passos práticos que você usaria na prova:
  1. Fatorar para ver se dá para escrever x' = g(t)h(x).
  2. Separar: \dfrac{dx}{h(x)} = g(t)\,dt.
  3. Integrar os dois lados, lembrar das primitivas usuais (aqui \int \dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x).
  4. Resolver para x (se for preciso) aplicando a inversa da função obtida.
  5. Atentar ao domínio (singularidades da função inversa, se houver).

Resposta

x(t)=\tan\!\left(2t-\dfrac{t^{2}}{2}+C\right)

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