Coloque as equações diferenciais na forma
e resolva pelo método de separação de variáveis.
Dica: fatorizar
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede:
- Colocar a equação na forma
. - Resolver a equação pelo método de separação de variáveis (isto é, obter a solução geral
).
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial ordinária de primeira ordem com derivada de
em relação a
, sem condição inicial. Dica do enunciado: fatorizar termos.
Passo 2
Vamos fatorizar a expressão do lado direito. Primeiro reagrupo termos semelhantes:
Coloco em evidência
no segundo parêntese:
Agora fatorando
em comum:
Portanto a equação fica na forma desejada com
ou seja
Passo 3
Explico a ideia da separação de variáveis (passo didático):
- Quando uma equação pode ser escrita
, podemos dividir ambos os lados por e multiplicar por para obter termos só em de um lado e só em do outro.
Aplicando isso:
passa para
Agora os termos em
estão no lado esquerdo e os termos em
no lado direito — prontos para integrar.
Passo 4
Integro ambos os lados. Primeiro explico as integrais:
-
, porque . -
.
Fazendo as integrais (colocando uma constante só no final):
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 5
Para obter
em função de
, aplico a função tangente aos dois lados (função inversa do
). Observação importante sobre domínio: a tangente tem descontinuidades quando o argumento atinge
; portanto a solução explícita será válida enquanto o argumento
não atingir esses pontos. Para problemas com condição inicial, determina-se
de modo que a solução seja válida num intervalo contendo o ponto inicial.
Passo 6
Resumo dos passos práticos que você usaria na prova:
- Fatorar para ver se dá para escrever
. - Separar:
. - Integrar os dois lados, lembrar das primitivas usuais (aqui
). - Resolver para
(se for preciso) aplicando a inversa da função obtida. - Atentar ao domínio (singularidades da função inversa, se houver).