Resolva os problemas do valor inicial seguintes
Passo 1
O problema dá a equação diferencial inicial e a condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(onde for definida) e que também satisfaz a condição
.
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
de uma variável real . Ou seja, . - A equação relaciona a derivada de
em relação a , que escrevemos como , com e uma função conhecida ( ). - A condição inicial informa o valor de
quando : .
Passo 2
Classificação do problema e escolha do método.
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear, pois pode ser colocada na forma padrão
Para equações lineares de primeira ordem o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). Vou usar esse método porque transforma a equação numa derivada exata e permite integrar diretamente. Outra forma possível (menos formal aqui) seria escrever a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular; ambas dão o mesmo resultado. Vou comentar essa alternativa no final.
Passo 3
Construção do fator integrante.
A forma padrão é
. Aqui temos
e
.
O fator integrante
é definido por
Breve explicação do porquê: multiplicando a equação original por
queremos que o lado esquerdo vire
. Isso ocorre porque, por regra do produto,
Se
satisfaz
, então
, exatamente o que precisamos. Com
obtemos
, que é verdade para
.
Passo 4
Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada exata.
Multiplicando
por
obtemos
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Portanto a equação escrita com o fator integrante fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em
.
Integrando em
obtemos
O lado esquerdo integra diretamente para
. O lado direito tem primitiva
mais constante de integração. Assim
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Isolar
para obter a solução geral (com a constante).
Multiplicando ambos os lados por
(que é não nulo para todo
) temos
Aqui
é a constante de integração obtida no passo anterior. Esta é a solução geral da equação diferencial linear dada (antes de aplicar a condição inicial).
Passo 7
Usar a condição inicial para determinar a constante
.
A condição é
. Substituindo
na expressão geral
obtemos
Como
, isso dá
Passo 8
Verificação rápida (checagem de que a solução encontrada realmente satisfaz a equação).
Com
a constante, a solução final será escrita na seção de resposta. Faço só a checagem da equação diferencial: se
então
, e
, logo
é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita:
.
Observação alternativa (metodinho curtinho): resolver por solução homogênea + particular. A equação homogênea é
com
. Uma solução particular constante tenta
; substituindo dá
então
. Soma dá
, mesma forma que encontramos.