Resolva os problemas do valor inicial seguintes
y^{\prime}=y+1, \quad y(0)=2

Passo 1

O problema dá a equação diferencial inicial e a condição inicial:
y' = y + 1,\qquad y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (onde for definida) e que também satisfaz a condição y(0)=2.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y de uma variável real t. Ou seja, y=y(t).
  • A equação relaciona a derivada de y em relação a t, que escrevemos como y'=\dfrac{dy}{dt}, com y e uma função conhecida ( 1).
  • A condição inicial informa o valor de y quando t=0: y(0)=2.

Passo 2

Classificação do problema e escolha do método.
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear, pois pode ser colocada na forma padrão
y' - y = 1.
Para equações lineares de primeira ordem o método padrão e direto é o fator integrante (integrating factor). Vou usar esse método porque transforma a equação numa derivada exata e permite integrar diretamente. Outra forma possível (menos formal aqui) seria escrever a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular; ambas dão o mesmo resultado. Vou comentar essa alternativa no final.

Passo 3

Construção do fator integrante.
A forma padrão é y' + p(t)y = q(t). Aqui temos p(t)=-1 e q(t)=1.
O fator integrante \mu(t) é definido por
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int -1\,dt} = e^{-t}.
Breve explicação do porquê: multiplicando a equação original por \mu(t) queremos que o lado esquerdo vire \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big). Isso ocorre porque, por regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big) = \mu y' + \mu' y.
Se \mu satisfaz \mu'=\mu p, então \mu y' + \mu' y = \mu(y' + p y), exatamente o que precisamos. Com p=-1 obtemos \mu'= -\mu, que é verdade para \mu=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada exata.
Multiplicando y' - y = 1 por \mu(t)=e^{-t} obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = e^{-t}.
Pelo cálculo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big) = e^{-t}y' - e^{-t}y.
Portanto a equação escrita com o fator integrante fica
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big) = e^{-t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em t.
Integrando em t obtemos
\int \frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)\,dt = \int e^{-t}\,dt.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{-t}y. O lado direito tem primitiva -e^{-t} mais constante de integração. Assim
e^{-t}y = -e^{-t} + C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Isolar y para obter a solução geral (com a constante).
Multiplicando ambos os lados por e^{t} (que é não nulo para todo t) temos
y = -1 + C e^{t}.
Aqui C é a constante de integração obtida no passo anterior. Esta é a solução geral da equação diferencial linear dada (antes de aplicar a condição inicial).

Passo 7

Usar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição é y(0)=2. Substituindo t=0 na expressão geral y=-1 + C e^{t} obtemos
2 = -1 + C e^{0}.
Como e^{0}=1, isso dá
2 = -1 + C \quad\Rightarrow\quad C = 3.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de que a solução encontrada realmente satisfaz a equação).
Com C=3 a constante, a solução final será escrita na seção de resposta. Faço só a checagem da equação diferencial: se y(t)=3e^{t}-1 então y'(t)=3e^{t}, e y(t)+1=(3e^{t}-1)+1=3e^{t}, logo y'=y+1 é satisfeita. A condição inicial também é satisfeita: y(0)=3\cdot1-1=2.
Observação alternativa (metodinho curtinho): resolver por solução homogênea + particular. A equação homogênea é y_h' - y_h =0 com y_h = C e^{t}. Uma solução particular constante tenta y_p = A; substituindo dá 0 - A = 1 então A=-1. Soma dá y=y_h+y_p = C e^{t}-1, mesma forma que encontramos.

Resposta

y(t)=3e^{t}-1

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