Resolva os problemas do valor inicial seguintes
y^{\prime}=t y, \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Especificamente:
  • A equação é \displaystyle y' = t\,y.
  • A condição inicial é \displaystyle y(0)=3.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t em algum intervalo e que verifica y(0)=3.

Passo 2

Vamos observar a forma da equação e reescrevê-la de modo a separar as variáveis y e t. A ideia da separação de variáveis é colocar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com t junto de dt, para depois integrar cada lado.
A equação é
\frac{dy}{dt}=t\,y.
Assumindo y\neq 0 (a condição inicial dá y(0)=3, então estamos numa situação onde y inicialmente é não nula), podemos dividir ambos os lados por y e multiplicar por dt para obter
\frac{1}{y}\,dy = t\,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Explico a integral que usamos:
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1, porque a derivada de \ln|y| é 1/y.
  • \displaystyle \int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} + C_2, pela regra da potência.
Aplicando isso:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{t^{2}}{2} + C,
onde C é uma constante real que combina C_2-C_1.

Passo 4

Isolamos y exponenciando os dois lados. Lembrando que \exp(\ln|y|)=|y|, temos
|y| = e^{C}\,e^{t^{2}/2}.
Escrevendo A=e^{C}>0, obtemos
|y| = A\,e^{t^{2}/2}.
Isso dá duas possibilidades y = A\,e^{t^{2}/2} ou y = -A\,e^{t^{2}/2}. De modo mais compacto podemos escrever
y(t)=K\,e^{t^{2}/2},
onde K é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero).

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial \displaystyle y(0)=3 para determinar K. Substituindo t=0 na fórmula geral:
y(0)=K\,e^{0}=K.
Como y(0)=3, segue que K=3. Portanto a solução do problema de valor inicial é
y(t)=3\,e^{t^{2}/2}.

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que não houve erro): calcule a derivada de y(t):
y'(t)=3\cdot e^{t^{2}/2}\cdot \frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{2}}{2}\right) =3\,e^{t^{2}/2}\cdot t = t\,(3\,e^{t^{2}/2}) = t\,y(t).
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial, e claramente y(0)=3.

Passo 7

Observações finais e dicas para a prova:
  • Passos essenciais: identificar separabilidade, separar variáveis, integrar ambos os lados, cuidar do valor absoluto ao integrar 1/y, aplicar condição inicial para achar a constante.
  • Sempre verifique a solução substituindo de volta na equação diferencial.
  • Aqui a solução está definida para todo t\in\mathbb{R} e é única porque o lado direito t y é contínuo em t,y.

Resposta

y(t)=3\,e^{t^{2}/2}

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