Resolva os problemas do valor inicial seguintes
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial. Especificamente:
- A equação é
. - A condição inicial é
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em algum intervalo e que verifica
.
Passo 2
Vamos observar a forma da equação e reescrevê-la de modo a separar as variáveis
e
. A ideia da separação de variáveis é colocar todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
, para depois integrar cada lado.
A equação é
Assumindo
(a condição inicial dá
, então estamos numa situação onde
inicialmente é não nula), podemos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para obter
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Explico a integral que usamos:
-
, porque a derivada de é . -
, pela regra da potência.
Aplicando isso:
onde
é uma constante real que combina
.
Passo 4
Isolamos
exponenciando os dois lados. Lembrando que
, temos
Escrevendo
, obtemos
Isso dá duas possibilidades
ou
. De modo mais compacto podemos escrever
onde
é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero).
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na fórmula geral:
Como
, segue que
. Portanto a solução do problema de valor inicial é
Passo 6
Verificação rápida (para garantir que não houve erro): calcule a derivada de
:
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial, e claramente
.
Passo 7
Observações finais e dicas para a prova:
- Passos essenciais: identificar separabilidade, separar variáveis, integrar ambos os lados, cuidar do valor absoluto ao integrar
, aplicar condição inicial para achar a constante. - Sempre verifique a solução substituindo de volta na equação diferencial.
- Aqui a solução está definida para todo
e é única porque o lado direito é contínuo em .