Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para colocá-la em forma de variáveis separáveis e resolvê-la, obtendo, quando possível,
como função explícita de
. Vamos usar o método de separar variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Reescrevendo a parte direita em forma que facilite a integração, notamos que
Logo a equação fica
Passo 3
Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em
de um lado e o
do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo reconhecemos a derivada de
, e no direito a antiderivada de
:
Passo 5
Calculando as integrais, obtemos
sendo
a constante de integração.
Passo 6
Para expressar
de forma explícita, aplicamos a tangente em ambos os lados:
Resposta
A família geral de soluções é
onde
é constante arbitrária.