Coloque as equações na forma de variáveis separáveis, e resolva-as. Quando possível, expresse a família de soluções como funções explícitas de x.
d xd t=x^2-2 x+2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dxdt=x^2-2x+2,
e pede para colocá-la em forma de variáveis separáveis e resolvê-la, obtendo, quando possível, x como função explícita de t. Vamos usar o método de separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo a parte direita em forma que facilite a integração, notamos que
x^2-2x+2=(x-1)^2+1
Logo a equação fica
dxdt=(x-1)^2+1

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todos os termos em x de um lado e o dt do outro:
dx(x-1)^2+1=dt

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo reconhecemos a derivada de arctan(x-1), e no direito a antiderivada de 1:
integral dx(x-1)^2+1 =integral dt

Passo 5

Calculando as integrais, obtemos
arctan(x-1)=t+C,
sendo C a constante de integração.

Passo 6

Para expressar x de forma explícita, aplicamos a tangente em ambos os lados:
x-1=tanl(t+Cr) Longrightarrow x(t)=1+tanl(t+Cr)

Resposta

A família geral de soluções é
x(t)=1+tanl(t+Cr),
onde C é constante arbitrária.

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