Uma EDO M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 é dita ser homogênea se as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real alpha tal que
M(t x, t y)=t^alpha M(x, y) e N(t x, t y)=t^alpha N(x, y)
para todo t.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado está falando. A gente está lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 . O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas. Para resolver ou identificar se uma EDO é homogênea, precisamos verificar se as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas do mesmo grau. Isso significa que existe um número real alpha tal que:
M(t x, t y) = t^alpha M(x, y) e N(t x, t y) = t^alpha N(x, y)
para todo t .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau alpha . Uma função f(x, y) é homogênea de grau alpha se, ao multiplicarmos suas variáveis por um mesmo fator t , a função inteira é multiplicada por t^alpha . Ou seja:
f(t x, t y) = t^alpha f(x, y)
Isso é útil porque permite simplificar a equação usando substituições que reduzem a complexidade das variáveis.

Passo 3

Agora, para verificar se nossa EDO é homogênea, precisamos checar se tanto M(x, y) quanto N(x, y) satisfazem essa condição de homogeneidade para o mesmo alpha .
Por exemplo, suponha que:
M(x, y) = 2x - y N(x, y) = x + 3y
Vamos testar se essas funções são homogêneas.

Passo 4

Aplicando a definição, substituímos x por t x e y por t y em M e N :
Para M :
M(t x, t y) = 2(t x) - (t y) = 2t x - t y = t (2x - y) = t^1 M(x, y)
Para N :
N(t x, t y) = (t x) + 3(t y) = t x + 3t y = t (x + 3y) = t^1 N(x, y)

Passo 5

Como vimos, tanto M(t x, t y) = t M(x, y) quanto N(t x, t y) = t N(x, y) . Isso significa que ambas as funções são homogêneas de grau alpha = 1 .

Passo 6

Como M(x, y) e N(x, y) são homogêneas do mesmo grau ( alpha = 1 ), podemos concluir que a EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é de fato homogênea.

Resposta

A EDO M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é homogênea porque as funções M(x, y) e N(x, y) são homogêneas do mesmo grau alpha = 1 .

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