Uma EDO
é dita ser homogênea se as funções
e
são homogêneas de mesmo grau, ou seja, existe um número real
tal que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está falando. A gente está lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais homogêneas. Para resolver ou identificar se uma EDO é homogênea, precisamos verificar se as funções
e
são homogêneas do mesmo grau. Isso significa que existe um número real
tal que:
para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau
. Uma função
é homogênea de grau
se, ao multiplicarmos suas variáveis por um mesmo fator
, a função inteira é multiplicada por
. Ou seja:
Isso é útil porque permite simplificar a equação usando substituições que reduzem a complexidade das variáveis.
Passo 3
Agora, para verificar se nossa EDO é homogênea, precisamos checar se tanto
quanto
satisfazem essa condição de homogeneidade para o mesmo
.
Por exemplo, suponha que:
Vamos testar se essas funções são homogêneas.
Passo 4
Aplicando a definição, substituímos
por
e
por
em
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Como vimos, tanto
quanto
. Isso significa que ambas as funções são homogêneas de grau
.
Passo 6
Como
e
são homogêneas do mesmo grau (
), podemos concluir que a EDO
é de fato homogênea.
Resposta
A EDO
é homogênea porque as funções
e
são homogêneas do mesmo grau
.