Determinar a área compreendida entre f(x)=-x^2+4 e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre a função f(x) = -x^2 + 4 e o eixo x . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como calcular áreas entre curvas e eixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde a função cruza o eixo x . Isso acontece quando f(x) = 0 . Então, vamos resolver a equação:
-x^2 + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação:
-x^2 + 4 = 0 implies x^2 = 4 implies x = pm 2
Então, os pontos de interseção são x = -2 e x = 2 .

Passo 4

Agora, para encontrar a área entre a curva e o eixo x , vamos integrar a função f(x) de x = -2 a x = 2 . A fórmula da integral para a área é:
A = integral-2^2 (-x^2 + 4) , dx

Passo 5

Como a função f(x) = -x^2 + 4 é par (simétrica em relação ao eixo y ), podemos simplificar o cálculo multiplicando a integral de 0 a 2 por 2 :
A = 2 times integral0^2 (-x^2 + 4) , dx

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral (-x^2 + 4) , dx = -x^33 + 4x
Agora, avaliamos de 0 a 2 :
[ -(2)^33 + 4(2) ] - [ -(0)^33 + 4(0) ] = ( -83 + 8 ) - 0 = 163

Passo 7

Multiplicando pelo 2 que fizemos antes:
A = 2 times 163 = 323

Resposta

A área compreendida entre f(x) = -x^2 + 4 e o eixo x é 323 unidades quadradas.

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