Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{19}{3} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=15, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -2 & 19 / 3 \end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -2 & 19 / 3\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado define a sequência pela relação de recorrência
x_{n+2} = -2\,x_{n} + \frac{19}{3}\,x_{n+1},\quad n=1,2,3,\dots
com x_{1}=15. Queremos encontrar x_{2} de modo que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.
Conteúdo necessário: resolver recorrência linear de segunda ordem via equação característica e impor estabilidade da solução.

Passo 2

Associamos a equação característica
r^{2} - \frac{19}{3}\,r + 2 = 0.
Multiplicando por 3 obtemos
3r^{2} - 19r + 6 = 0,
cuja discriminação é \Delta = 19^{2}-4\cdot3\cdot6 = 361 - 72 = 289. Logo
r = \frac{19 \pm 17}{6} \quad\Longrightarrow\quad r_{1}=6,\quad r_{2}=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

A solução geral da recorrência é
x_{n} = A\cdot 6^{\,n-1} + B\cdot\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^{n-1}.
Como \lim_{n\to\infty}6^{\,n-1}=\infty, para ter \lim_{n\to\infty}x_{n}=0 é necessário A=0.
Usando x_{1}=15 na forma geral:
x_{1} = A + B = 15 \quad\Longrightarrow\quad B=15.

Passo 4

Com A=0 e B=15, calculamos
x_{2} = 0\cdot 6 + 15\cdot\frac{1}{3} = 5.

Resposta

5

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