Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{19}{3} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=15, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
com x_{1}=15. Queremos encontrar x_{2} de modo que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.
Conteúdo necessário: resolver recorrência linear de segunda ordem via equação característica e impor estabilidade da solução.
Passo 2
Associamos a equação característica
r^{2} - \frac{19}{3}\,r + 2 = 0.
Multiplicando por 3 obtemos
3r^{2} - 19r + 6 = 0,
cuja discriminação é \Delta = 19^{2}-4\cdot3\cdot6 = 361 - 72 = 289. Logo
r = \frac{19 \pm 17}{6} \quad\Longrightarrow\quad r_{1}=6,\quad r_{2}=\tfrac{1}{3}.