Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 5 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 40 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 35.7 \%
(B) 36.7 \%
(C) 37.7 \%
(D) 38.7 \%
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de fazer sol daqui a 20 anos, sabendo que no dia seguinte a chance de sol depois de sol é 5\% e de chuva depois de chuva é 40\%. Como cada dia depende só do dia anterior, isso é uma cadeia de Markov de dois estados (sol e chuva). Em um horizonte tão longo (cerca de 20\times365 dias), a distribuição de probabilidades converge para a distribuição estacionária. Vamos encontrá-la.

Passo 2

Denotando o estado “sol” por S e “chuva” por R, montamos a matriz de transição P:
P = \begin{pmatrix} P_{SS} & P_{SR}\\\ P_{RS} & P_{RR} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,05 & 0,95\\\\ 0,60 & 0,40 \end{pmatrix},
onde, por exemplo, P_{SS}=0,05 é a probabilidade de sol após sol.

Passo 3

A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_R) satisfaz
\pi_S = \pi_S\cdot 0,05 + \pi_R\cdot 0,60, \quad \pi_S + \pi_R = 1.
A primeira equação é o equilíbrio em S, e a segunda garante soma 1.

Passo 4

Substituindo \pi_R=1-\pi_S na equação de \pi_S:
\pi_S = (1-\pi_S)\cdot 0,60 + \pi_S\cdot 0,05 \;\Longrightarrow\; \pi_S = 0,60 -0,60\,\pi_S +0,05\,\pi_S
\Longrightarrow\; \pi_S +0,60\,\pi_S -0,05\,\pi_S = 0,60 \;\Longrightarrow\; 1,55\,\pi_S = 0,60 \;\Longrightarrow\; \pi_S = \frac{0,60}{1,55}\approx 0,3871.

Passo 5

Logo, a probabilidade de haver sol no dia em questão, após muitos passos, é cerca de 0,3871, ou 38,7\%.

Resposta

(D) 38,7\%

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