Coloque em ordem crescente os números reais \frac{\sqrt{11}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \mathrm{e} \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para colocar em ordem crescente os dois números
A = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \quad\text{e}\quad B = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}.
O conteúdo envolvido é manipulação de radicais (racionalização de denominador) e comparação de expressões. Vamos racionalizar cada um e depois verificar quem é maior.

Passo 2

Racionalizando o denominador de A:
A = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{77}-\sqrt{33}-\sqrt{14}+\sqrt{6}}{7-3} = \frac{\sqrt{77}-\sqrt{33}-\sqrt{14}+\sqrt{6}}{4}.
Racionalizando o denominador de B:
B = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{11}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{2})}{(\sqrt{11}-\sqrt{2})(\sqrt{11}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{77}+\sqrt{14}-\sqrt{33}-\sqrt{6}}{11-2} = \frac{\sqrt{77}+\sqrt{14}-\sqrt{33}-\sqrt{6}}{9}.

Passo 3

Para comparar A e B, calculamos
B - A = \frac{1}{9}\bigl(\sqrt{77}+\sqrt{14}-\sqrt{33}-\sqrt{6}\bigr) - \frac{1}{4}\bigl(\sqrt{77}-\sqrt{33}-\sqrt{14}+\sqrt{6}\bigr).
Colocando em denominar comum 36 e simplificando, obtém-se
B - A = \frac{-5\sqrt{77} + 13\sqrt{14} + 5\sqrt{33} - 13\sqrt{6}}{36} = \frac{13(\sqrt{14}-\sqrt{6}) \;-\;5(\sqrt{77}-\sqrt{33})}{36}.
Note que \sqrt{14}>\sqrt{6} e \sqrt{77}>\sqrt{33}. Numericamente, \sqrt{14}-\sqrt6\approx1{,}29 e \sqrt{77}-\sqrt{33}\approx3{,}03,
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13(\sqrt{14}-\sqrt6)\approx16{,}8 \quad\text{e}\quad 5(\sqrt{77}-\sqrt{33})\approx15{,}15,
de onde 13(\sqrt{14}-\sqrt6)>5(\sqrt{77}-\sqrt{33}). Assim o numerador é positivo e B-A>0, ou seja
B > A.

Resposta

\frac{\sqrt{11}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \;<\; \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}.

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