Sejam x, y \in \mathrm{IR}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
\sqrt{x y}=\sqrt{x} \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pergunta se, para x,y\in\mathbb{R}, vale sempre
\sqrt{x y} = \sqrt{x}\,\sqrt{y}.
O conteúdo envolvido é a propriedade multiplicativa da raiz quadrada e o domínio da função \sqrt{\;\cdot\;} nos reais.

Passo 2

A função principal de raiz quadrada em \mathbb{R} está definida apenas para argumentos não negativos. Ou seja:
\sqrt{x y} está definida se e somente se x y \ge 0.
\sqrt{x} está definida se e somente se x \ge 0, e \sqrt{y} só se y \ge 0.

Passo 3

Quando x\ge0 e y\ge0, então x y\ge0 e podemos usar a propriedade padrão de potências:
\sqrt{x y} = (x y)^{1/2} = x^{1/2}\,y^{1/2} = \sqrt{x}\,\sqrt{y}.
Nesse caso específico, a igualdade é verdadeira.

Passo 4

Para valores gerais em \mathbb{R}, a identidade falha por falta de definição. Por exemplo, tome x=y=-1. Então
x y = (-1)(-1) = 1\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x y} = \sqrt{1} = 1,
mas
\sqrt{x}=\sqrt{-1}\quad\text{e}\quad\sqrt{y}=\sqrt{-1}
não estão definidas em \mathbb{R}. Logo não faz sentido igualar \sqrt{x y} a \sqrt{x}\,\sqrt{y} nesse caso.

Resposta

A afirmação
\sqrt{x y} = \sqrt{x}\,\sqrt{y}
é falsa em \mathbb{R} de modo geral. Ela vale apenas quando x\ge0 e y\ge0.

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