Determine \left[\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{11}}{3}\right] \cap\left[\frac{\sqrt{2}}{2} ; \sqrt{5}\right].

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a interseção dos intervalos
\left[\frac{\sqrt{3}}{3};\;\frac{\sqrt{11}}{3}\right]\quad\text{e}\quad\left[\frac{\sqrt{2}}{2};\;\sqrt{5}\right].
O conteúdo aqui é a interseção de intervalos, que consiste em tomar o maior dos limites inferiores e o menor dos limites superiores (desde que o maior limite inferior seja menor ou igual ao menor limite superior).

Passo 2

Vamos estimar numericamente cada ponto para ter uma ideia de ordem:
\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0,577,\quad \frac{\sqrt{11}}{3}\approx1,105,\quad \frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707,\quad \sqrt{5}\approx2,236.

Passo 3

O maior dos limites inferiores é
\max\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{3},\,\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
pois 0,707>0,577.

Passo 4

O menor dos limites superiores é
\min\Bigl(\frac{\sqrt{11}}{3},\,\sqrt{5}\Bigr)=\frac{\sqrt{11}}{3},
pois 1,105<2,236.

Passo 5

Como
\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707\le1,105\approx\frac{\sqrt{11}}{3},
há interseção, e ela é
\left[\frac{\sqrt{2}}{2};\;\frac{\sqrt{11}}{3}\right].

Resposta

\left[\frac{\sqrt{2}}{2};\;\frac{\sqrt{11}}{3}\right]

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