A coluna que fará a separação de uma carga contendo 25 \% molar de acetona e 75 \% molar de metanol deve ser projetada para fornecer um produto de topo com 75 \% molar de acetona e um produto de fundo com 1 \% molar de acetona. A carga está 70 \% vaporizada e a razão de refluxo operacional usada é 1,5 vezes a razão de refluxo mínima. O produto de fundo é retirado do refervedor. O condensado deixa o condensador a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}, e o refluxo de topo
Apostila de Exercícios de OP II
Prof. Marisa F. Mendes
entra na coluna nesta temperatura. O calor latente de ambos os componentes é 7700 \frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{gmol}}.
Determine o número de pratos reais necessários à separação.
Table 1: Dados de Equilíbrio do sistema Acetona - Metanol a 1 atm
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) x y \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) x y
64,5 0,0 0,0 56,7 0,5 0,586
63,6 0,05 0,102 56 0,6 0,656
62,5 0,1 0,186 55,3 0,7 0,725
60,2 0,2 0,322 55,05 0,8 0,8
58,65 0,3 0,428 56,1 1,0 1,0
57,55 0,4 0,513

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o número de pratos reais necessários para separar uma mistura binária acetona–metanol, dadas as composições e condições da alimentação e dos produtos. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados relevantes que o enunciado fornece:
  • Pergunta: determinar o número de pratos reais necessários para a separação.
  • Dados da alimentação:
    • Composição molar de acetona na carga: \;z_F=0{,}25.
    • Fração vaporizada da carga: \;70\% (isto é, fração líquida na alimentação \;q=1-0{,}70=0{,}30).
  • Produtos desejados:
    • Produto de topo (destilado) com \;x_D=0{,}75 (molar em acetona).
    • Produto de fundo (resíduo) com \;x_B=0{,}01 (molar em acetona).
  • Condições e dados auxiliares:
    • A corrente de fundo é retirada do refervedor (configuração usual).
    • O condensado sai do condensador a \;25^\circ\mathrm{C} e o refluxo entra na coluna a essa temperatura.
    • Calor latente de ambos os componentes \;\lambda=7700\;\dfrac{\mathrm{cal}}{\mathrm{gmol}} (igual para os dois).
    • Tabela experimental curva de equilíbrio vapor–líquido (1 atm) fornecida — usada para obter y em função de x por interpolação quando necessário (vou explicitar quando eu usar dados da tabela).
  • Informação operacional adicional:
    • A razão de refluxo operacional é \;R=1{,}5\,R_{\min} (ou seja, está dada como 1,5 vezes o refluxo mínimo).
  • Observação importante do enunciado: a tabela com os pontos (x,y) do equilíbrio está disponível e deve ser usada sempre que eu precisar do equilíbrio. Quando eu usar dados da tabela eu vou dizer explicitamente qual ponto ou intervalo foi pego.
A partir daqui, começa a resolução (cálculos e ensino) para obter o número de pratos reais.

Passo 2

Plano de método (sem resolver ainda, só explicando o caminho que vou seguir):
  • Para colunas de destilação binárias a metodologia clássica e didática é:
    1. Calcular o número mínimo de pratos teóricos em refluxo total (N_{\min}) usando a equação de Fenske (essa é a base para separação no caso de refluxo infinito – dá uma referência do esforço de separação).
    2. Calcular o refluxo mínimo R_{\min}. Com R operacional dado como 1{,}5\,R_{\min}, preciso do valor de R_{\min} para usar correlações que relacionam refluxo finito com número de pratos teóricos.
    3. Usar a correlação de Gilliland (ou sua forma explícita aproximada) para obter o número de pratos teóricos N com o refluxo operacional.
    4. Converter o número de pratos teóricos N em pratos reais, dividindo pela eficiência de prato (Murphree). O enunciado não dá explicitamente a eficiência de prato; em problemas práticos teremos que assumir um valor típico. Vou justificar e assumir um valor de eficiência razoável, o que é comum em exercícios desse tipo.
  • Vou ensinar cada fórmula que eu usar, explicar as variáveis, e sempre mostrar como eu obtive/assumi os parâmetros que faltam (por ex. volatilidade média ou eficiência).

Passo 3

Aulas/lembrando as fórmulas essenciais (breve, mas detalhando significado de cada termo):
  • Fenske (número mínimo de pratos teóricos em refluxo total): N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\bar{\alpha})}Onde:
    • \;x_D é a fração molar do componente mais volátil no destilado (aqui acetona).
    • \;x_B é a fração molar do componente mais volátil nos fundos.
    • \;\bar{\alpha} é a volatilidade relativa média (assumimos uma volatilidade relativa efetiva constante para usar Fenske). A volatilidade relativa \alpha relaciona vapor e líquido por \dfrac{y/(1-y)}{x/(1-x)}=\alpha se \alpha fosse constante. Vou explicar como estimar \bar{\alpha} a seguir.
  • Definição da razão de refluxo R: \;R = \dfrac{L}{D}, razão molar do refluxo líquido L sobre a produção de topo D. O refluxo mínimo R_{\min} é o valor para o qual a linha operativa retificadora é tangente à curva de equilíbrio entre x_D e o ponto de tangência.
  • Correlação de Gilliland (para passar de N_{\min} e R_{\min} para N com refluxo finito): é uma relação empírica entre X=\frac{R-R_{\min}}{R+1},\qquad Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1}.A correlação original relaciona X e Y por uma curva tabulada; existe uma expressão empírica prática (apóia-se na forma de Eduljee–Molokanov ou uma expressão aproximada) que dá Y em função de X de forma explícita. Vou usar uma forma aproximada bastante aceita: Y \approx 1 - \exp\!\left(-\frac{1+54.4X}{11+117.2X}\,X\right).Depois de encontrar Y resolvo para N: N = \frac{N_{\min}+Y}{1-Y}.
  • Conversão para pratos reais:
    • Se a eficiência de prato (Murphree) for \;E_M (fracionária, ex.: E_M=0{,}6 para 60\%), então N_{\text{reais}} = \frac{N}{E_M}.
    • Em exercícios sem eficiência dada, é habitual assumir um valor típico entre 0{,}6 e 0{,}8. Eu vou justificar e assumir um valor apropriado depois.

Passo 4

Estimativa da volatilidade relativa média \bar{\alpha} a partir dos dados de equilíbrio (explicando o conceito e o procedimento):
  • Conceito: para uma mistura binária ideal com volatilidade relativa constante \alpha, a relação é y = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.A partir da tabela de equilíbrio (pares (x,y)) podemos calcular localmente a \alpha(x) por: \alpha(x) = \frac{y/(1-y)}{x/(1-x)}.
  • Vou calcular alguns valores de \alpha(x) usando pontos da tabela (vou pegar trechos relevantes e mostrar cálculos):
    • Para (x,y)=(0{,}05,0{,}102): \alpha(0{,}05)=\frac{0{,}102/(1-0{,}102)}{0{,}05/(1-0{,}05)} =\frac{0{,}102/0{,}898}{0{,}05/0{,}95} \approx\frac{0{,}1136}{0{,}05263}\approx2{,}16.
    • Para (x,y)=(0{,}2,0{,}322): \alpha(0{,}2)=\frac{0{,}322/0{,}678}{0{,}2/0{,}8} \approx\frac{0{,}4746}{0{,}25}\approx1{,}90.
    • Para (x,y)=(0{,}5,0{,}586): \alpha(0{,}5)=\frac{0{,}586/0{,}414}{0{,}5/0{,}5} =\frac{1{,}415}{1}\approx1{,}415.
    • Para (x,y)=(0{,}8,0{,}8): \alpha(0{,}8)=\frac{0{,}8/0{,}2}{0{,}8/0{,}2}=1{,}0.
  • Observação: a volatilidade relativa não é constante — ela diminui quando x aumenta (comportamento típico quando as componetes têm ponto de ebulição próximos). Para aplicar Fenske precisamos de uma volatilidade média efetiva entre as composições de interesse (entre x_B e x_D). Uma escolha razoável (e comum em exercícios quando \alpha varia) é tomar uma volatilidade média representativa para a faixa de separação. Vou justificar a escolha:
    • A separação vai de x_B=0{,}01 a x_D=0{,}75. Nos pequenos x a \alpha é alta (~2), no meio ~1{,}4–1{,}9, e perto do topo tende a 1.
    • Uma média ponderada ou geométrica entre valores médios na faixa dá um \bar{\alpha} em torno de 1{,}5 1{,}8.
  • Para ser explícito e conservador (não superestimar eficiência), vou adotar \displaystyle \bar{\alpha}=1{,}6 como volatilidade relativa média efetiva. Isso é consistente com os valores calculados (por ex. 1,9 a 1,4 ao longo da faixa) e é uma escolha didática comum em problemas. (Se você fizer uma avaliação numérica mais precisa com ajuste de curva, o número muda um pouco; o procedimento é o mesmo.)

Passo 5

Cálculo de N_{\min} com Fenske usando \bar{\alpha}=1{,}6. Vou detalhar cada passo:
  • Primeiro calcule o termo do numerador (razão das frações odds de acetona no topo e no fundo): \frac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} = \frac{\dfrac{0{,}75}{0{,}25}}{\dfrac{0{,}01}{0{,}99}} = \frac{3}{0{,}010101\dots} \approx 297.Notei explicitamente que \dfrac{0{,}01}{0{,}99}\approx0{,}010101 e \dfrac{0{,}75}{0{,}25}=3.
  • Agora aplico Fenske: N_{\min}=\frac{\ln(297)}{\ln(\bar{\alpha})}= \frac{\ln(297)}{\ln(1{,}6)}.Cálculos: \ln(297)\approx5{,}693; \qquad \ln(1{,}6)\approx0{,}4700.
N_{\min}\approx\frac{5{,}693}{0{,}4700}\approx12{,}11.
  • Interpretação: com refluxo infinito (refluxo total) seriam necessários cerca de 12{,}1 pratos teóricos. Em prática arredondamos para cima para obter um número inteiro de pratos teóricos mínimo (mas a correlação de Gilliland usa o valor real não arredondado). Então: N_{\min}\approx12{,}1\\ \text{(pratos teóricos, refluxo total)}.ó

Passo 6

Discussão sobre R_{\min} e como obter R. O enunciado indica que a razão de refluxo operacional é R=1{,}5\,R_{\min}. Para avançar com Gilliland eu preciso do valor de X=\dfrac{R-R_{\min}}{R+1}. Observe que:
X=\frac{R-R_{\min}}{R+1}=\frac{1{,}5R_{\min}-R_{\min}}{1{,}5R_{\min}+1}=\frac{0{,}5R_{\min}}{1+1{,}5R_{\min}}.
Ou seja, X depende numericamente de R_{\min}. Mas note: na correlação de Gilliland o que efetivamente importa é o número X (que é função de R_{\min}). Em muitos exercícios de sala é aceitável estimar R_{\min} por um método aproximado (Underwood) ou pelo método gráfico (McCabe–Thiele). Aqui eu vou estimar R_{\min} por um caminho simples e coerente com os dados de equilíbrio: uso a condição de tangência aproximada entre a linha operativa retificadora e a curva de equilíbrio próximo ao topo para estimar a inclinação mínima, como mostrado a seguir (método numérico via derivada aproximada).

Passo 7

Estimativa de R_{\min} por tangência aproximada (explicando a ideia):
  • A linha operativa retificadora (no caso de refluxo parcial) tem equação y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.No caso mínimo R=R_{\min} essa reta é tangente à curva de equilíbrio y_{\text{eq}}(x) em algum ponto x_t entre x_D e a região superior. A condição de tangência implica que a inclinação da reta seja igual à derivada da curva de equilíbrio naquele ponto: \left.\frac{dy_{\text{eq}}}{dx}\right|_{x_t}=\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1}.
  • Podemos estimar a derivada \dfrac{dy_{\text{eq}}}{dx} numericamente a partir da tabela próxima de x alto (perto do destilado), porque a tangência geralmente ocorre na região superior do intervalo. Usando os pontos da tabela próximos de x\approx0{,}7 0{,}8 (a região do destilado), temos:
    • Na tabela: (x,y)=(0{,}7,0{,}725) e (0{,}8,0{,}8).
    • Aproximação de derivada: \left.\frac{dy}{dx}\right|_{\text{aprox}}\approx\frac{0{,}800-0{,}725}{0{,}8-0{,}7}=\frac{0{,}075}{0{,}1}=0{,}75.
  • Assim, uma estimativa razoável é \dfrac{R_{\min}}{R_{\min}+1}\approx0{,}75. Resolvo para R_{\min}: 0{,}75=\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1}\quad\Rightarrow\quad 0{,}75(R_{\min}+1)=R_{\min}
0{,}75R_{\min}+0{,}75=R_{\min}\quad\Rightarrow\quad R_{\min}-0{,}75R_{\min}=0{,}75
0{,}25R_{\min}=0{,}75\quad\Rightarrow\quad R_{\min}=3{,}0.
  • Interpretação: com essa estimativa da inclinação local a R_{\min}\approx3{,}0. Essa é uma estimativa aproximada, mas compatível com a observação de que \alpha decresce e a curva de equilíbrio fica próxima da linha y=x perto de x\approx0{,}8.

Passo 8

Agora calculo X (parâmetro da correlação de Gilliland) usando R=1{,}5R_{\min} e meu R_{\min} estimado:
  • Primeiro R operacional: R=1{,}5\,R_{\min}=1{,}5\times3{,}0=4{,}5.
  • Agora calculo X=\frac{R-R_{\min}}{R+1}=\frac{4{,}5-3{,}0}{4{,}5+1}=\frac{1{,}5}{5{,}5}\approx0{,}2727.

Passo 9

Uso a expressão empírica aproximada para Gilliland para obter Y, onde
Y\approx 1 - \exp\!\left(-\frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\,X\right).
Vou explicar essa escolha: a forma acima é uma aproximação prática da curva tabulada de Gilliland que relaciona X e Y. Ela é usada em aulas e exercícios quando se quer evitar gráficos sem perder muita precisão.
  • Substituindo X\approx0{,}2727:
    • Calculo os coeficientes: 1+54{,}4X \approx 1+54{,}4(0{,}2727)\approx1+14{,}84\approx15{,}84,
11+117{,}2X \approx11+117{,}2(0{,}2727)\approx11+31{,}96\approx42{,}96.
  • A razão dentro do exponencial: \frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\,X\approx\frac{15{,}84}{42{,}96}\times0{,}2727 \approx0{,}3687\times0{,}2727\approx0{,}1005.
  • Então Y\approx 1-\exp(-0{,}1005)\approx 1 - 0{,}9044 \approx 0{,}0956.

Passo 10

Com Y e N_{\min} calculados, resolvo para o número de pratos teóricos N:
  • Relembrando a definição de Y: Y=\frac{N-N_{\min}}{N+1}\quad\Rightarrow\quad Y(N+1)=N-N_{\min}
YN + Y = N - N_{\min}\quad\Rightarrow\quad N(1-Y) = N_{\min} + Y
N = \frac{N_{\min}+Y}{1-Y}.
  • Substituo N_{\min}\approx12{,}11 e Y\approx0{,}0956: N \approx \frac{12{,}11 + 0{,}0956}{1-0{,}0956} =\frac{12{,}2056}{0{,}9044}\approx13{,}50.
  • Interpretação: com a razão de refluxo operacional R=1{,}5R_{\min} (e as aproximações feitas) precisamos de cerca de 13{,}5 pratos teóricos.

Passo 11

Converter o número de pratos teóricos em pratos reais (explicando e justificando a escolha da eficiência):
  • O enunciado não fornece eficiência de prato (Murphree). Em prática industrial a eficiência de prato para sistemas líquidos–vapor pode variar bastante; valores típicos de projeto para colunas a pratos estão entre 0{,}5 e 0{,}8 dependendo do tipo de prato e da severidade da separação. Em muitos exercícios de sala, quando a eficiência não nos é dada, assume-se algo como E_M=0{,}6 (60%) ou E_M=0{,}7 (70%) como um valor razoável para pratos corridos/produção média.
  • Além disso, o enunciado forneceu o calor latente igual para ambos os componentes e temperatura do refluxo ( 25^\circ\mathrm{C}); isso permite discutir entalpias mas não dá diretamente a eficiência por prato. Portanto temos que assumir um valor plausível.
  • Eu vou assumir E_M=0{,}6 (60%) como uma estimativa conservadora e realista para pratos industriais de separação moderada. Se você tiver outro dado de eficiência (por ex. 0{,}7), basta dividir N por esse novo E_M.
  • Cálculo: N_{\text{reais}}=\frac{N}{E_M}=\frac{13{,}50}{0{,}6}\approx22{,}5.
  • Interpretação: precisamos de cerca de 22{,}5 pratos reais; como não existe meio prato na prática, arredondamos para cima: N_{\text{reais}}\approx 23\\ \text{pratos reais}.

Passo 12

Resumo crítico das aproximações feitas (importante para uma prova / uso prático):
  • Principais suposições e aproximações que influenciam o resultado:
    1. Assumi uma volatilidade relativa média \bar{\alpha}=1{,}6 para usar a equação de Fenske. A volatilidade real varia com x (tabela), então um ajuste de curva daria outro valor de \bar{\alpha} e mudaria N_{\min}.
    2. Estimei R_{\min} aproximando a derivada da curva de equilíbrio entre x=0{,}7 e 0{,}8. Este passo é aproximado — o método gráfico exato (tangência) daria um R_{\min} mais preciso.
    3. Usei a expressão empírica aproximada para a correlação de Gilliland (boa aproximação, mas empírica).
    4. Assumi eficiência de prato (Murphree) E_M=0{,}6 porque o enunciado não dá eficiência.
  • Se quiser maior precisão:
    • Ajustar numericamente \bar{\alpha} com uma regressão da curva y(x).
    • Calcular R_{\min} resolvendo numericamente a condição de tangência (usar interpolação fina dos pontos da tabela e equacionar derivada).
    • Usar o gráfico de Gilliland ou uma forma numérica mais precisa para obter N.
    • Obter ou estimar E_M mais fiel ao tipo de prato (por ex. pratos de alta eficiência podem ter E_M\approx0{,}7\!-\!0{,}8, o que reduziria o número de pratos reais).

Resposta

23 pratos reais (aprox.)

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