Uma coluna de destilação deve fazer a separação de 1000 \frac{\text { moles }}{h} de uma mistura contendo 32 moles \% de etanol e 68 moles \% de água a 1 atm . A carga é um líquido subresfriado a qual condensa 1 mol de vapor no prato de carga para cada 4 moles que entram de carga. A coluna possui um condensador parcial e usa vapor de arraste. Deseja-se um produto de topo com 75 \% molar de etanol e um produto de fundo com 10 \% molar de etanol. Vazões molares constantes são válidas. Determine a razão mínima de refluxo externa. Usando uma razão de refluxo igual a 2 vezes a mínima, determine o número de estágios reais necessários à separação e a vazão de vapor usada.

Passo 1

O enunciado (resumido em dados úteis) dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Vazão de alimentação: \;F = 1000\\ \mathrm{mol/h}.
  • Composição da alimentação (etanol): \;z_F = 0{,}32.
  • A alimentação é um líquido subresfriado que “condensa 1 mol de vapor no prato de carga para cada 4 mol que entram de carga”.
  • A coluna possui condensador parcial e (segundo o enunciado) “usa vapor de arraste” (observação: esse detalhe descreve o modo de operação do condensador/arraste, mas não fornece a curva de equilíbrio).
  • Composição desejada do produto de topo: \;x_D = 0{,}75 (75 mol% etanol).
  • Composição desejada do produto de fundo: \;x_B = 0{,}10 (10 mol% etanol).
  • Pressão: \;1\\ \mathrm{atm}.
O que o problema pede, em termos diretos:
  1. Determinar a razão mínima de refluxo externa (isto é, R_{\min}, onde R=L/D).
  2. Usando R = 2 R_{\min}, determinar o número de estágios reais necessários (estágios de prato reais) para a separação.
  3. Determinar a vazão de vapor utilizada na coluna (taxa molar de vapor que sobe pelo eq. pra a seção rectificante).
Importante: com os dados acima já é possível calcular certas quantidades (por exemplo, balanço global e fluxo de destilado). Porém, a determinação numérica de R_{\min}, do número de estágios e da vazão de vapor exige informação sobre o equilíbrio vapor–líquido (VLE) da mistura etanol–água à pressão de operação (ou uma volatilidade relativa conhecida, ou a curva y=y(x)). Essa informação NÃO foi fornecida no enunciado. A seguir explico passo a passo o que se faria e quais fórmulas usar — e em quais pontos a falta de dados impede o cálculo numérico final.

Passo 2

Cálculo do parâmetro q da alimentação (linha q-line).
Definição e interpretação: \;q é a fração molar do alimento que entra como líquido na coluna imediatamente abaixo do prato de alimentação. Para uma alimentação que, ao tocar o prato, condensa vapor da coluna, tem-se q>1 (a carga é subresfriada e promove condensação do vapor que chega). Se a alimentação for um líquido saturado, q=1; vapor saturado dá q=0; etc.
No enunciado diz: “condensa 1 mol de vapor no prato de carga para cada 4 mol que entram de carga”. Isso significa que, para cada 4 mol de alimentação, uma quantidade adicional de 1 mol de vapor que vinha pela coluna condensa (isto é, a saída líquida abaixo do prato é maior do que a alimentação por essa quantidade). Em termos de q (fração de alimentação que sai como líquido no prato):
q = 1 + \frac{\text{mol de vapor condensados por mol de alimentação}}{1} = 1 + \frac{1}{4} = 1{,}25.çã
Portanto \;q = 1{,}25.

Passo 3

Balanço global e vazão do destilado \;D (esta parte é determinada sem VLE).
Usamos o balanço total e o balanço do componente etanol no regime estacionário:
Balanço total: \;F = D + B.
Balanço de componente (etanol): \;F z_F = D x_D + B x_B.
Isolando D:
D = F \cdot \frac{z_F - x_B}{x_D - x_B}.
Substituindo os números:
z_F - x_B = 0{,}32 - 0{,}10 = 0{,}22,
x_D - x_B = 0{,}75 - 0{,}10 = 0{,}65,
D = 1000\cdot\frac{0{,}22}{0{,}65} \approx 338{,}4615\\ \mathrm{mol/h}.
Assim já temos: \;D \approx 338{,}46\\ \mathrm{mol/h}.
E o fundo B = F - D \approx 661{,}54\\ \mathrm{mol/h}.
Observação: o cálculo de D NÃO precisa da curva de equilíbrio; é puro balanço de matéria.

Passo 4

O que é R_{\min} e como se determina (metodologia McCabe–Thiele / tangência).
Conceito: a razão mínima de refluxo R_{\min} é a menor razão R=L/D que ainda permite atingir a pureza x_D no topo. No critério gráfico de McCabe–Thiele (pressuponto de escoamento molar constante e balanceamento linear das linhas de operação), R_{\min} corresponde à situação em que a reta de operação da seção rectificante é tangente à curva de equilíbrio vapor–líquido num ponto entre x_D e a interseção com a linha q (ou equivalente), isto é, quando a linha de operação “encosta” na curva de equilíbrio: isso resulta em número infinito de pratos teóricos mas define o limite inferior de refluxo.
Para a coluna com condensador parcial e produto de topo em fase vapor (vapor de arraste / condensador parcial), a linha de operação rectificante tem a forma
\displaystyle y = m x + b,\quad \text{com}\quad m=\frac{R}{R+1},\quad b=\frac{y_D}{R+1},
onde \;y é a fração molar de etanol no vapor na seção rectificante, \;x é a fração molar de etanol no líquido, e \;y_D é a composição molar no vapor de topo (se o produto de topo for vapor, usa-se y_D; se for líquido após condensador total, usa-se x_D — no enunciado foi dado “produto de topo com 75% molar de etanol”, e sendo condensador parcial é preciso saber se esse 0{,}75 refere-se ao vapor ou ao líquido; isso é outra informação de equilíbrio que não foi explicitada). Para efeito do método, precisa-se saber qual composição (vapor ou líquido) fica fixa no topo; normalmente utiliza-se a composição do vapor que sai do condensador quando o produto é vapor, ou a composição do líquido quando o condensador for total.
Condição de tangência (condição matemática para R_{\min}):
seja \;y^{eq}(x) a curva de equilíbrio. No ponto de tangência x^* temos simultaneamente:
y^{eq}(x^*)=m x^* + b \quad\text{e}\quad \left.\frac{dy^{eq}}{dx}\right|_{x^*} = m.
Dessas duas equações resolve-se para x^* e m, e então
R_{\min} = \frac{m}{1-m}.
IMPORTANTE: para resolver numericamente essas equações é obrigatório conhecer a expressão ou os dados de y^{eq}(x) (curva VLE) para etanol–água a 1\\ \mathrm{atm}, ou assumir uma volatilidade relativa constante (um valor de \alpha). O enunciado NÃO fornece nem a curva y^{eq}(x) nem \alpha. Portanto NÃO É POSSÍVEL calcular numericamente R_{\min} a partir dos dados fornecidos sem uma dessas informações adicionais.

Passo 5

Alternativa algébrica: se houvesse hipótese de volatilidade relativa constante \alpha.
Explicação didática curta: muitas questões adotam a aproximação de volatilidade relativa constante, com
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha -1)x}.
Na prática, para etanol–água \alpha varia com composição e temperatura; um valor típico aproximado pode ser \alpha \approx 2 a 1 atm para certas faixas, mas isso é uma aproximação. Com essa expressão substituída em y^{eq}(x) a condição de tangência do Passo 4 vira uma equação que pode ser resolvida numericamente para x^* e daí obter R_{\min}. Reforço: essa aproximação é uma hipótese extra que o enunciado não autoriza explicitamente; se você estiver numa prova e o enunciado não der \alpha ou dados VLE, deve solicitar esse dado — sem ele um número exato não é justificável.

Passo 6

Como calcular o número de estágios quando se conhece R (McCabe–Thiele) — procedimento prático que você faria na prova.
Método 1 (gráfico, McCabe–Thiele): com a curva y^{eq}(x) conhecida e com a linha do alimento ( q-line) traçada (sabemos \;q=1{,}25 do Passo 2), e com a linha de operação rectificante usando R (aqui R=2R_{\min} quando R_{\min} for conhecido), procede-se assim:
  • Plote y^{eq}(x) (VLE), a linha de 45° y=x, a linha de operação rectificante y = \frac{R}{R+1}x + \frac{y_D}{R+1} e a linha de operação de escoamento da seção de retirada (stripping) que passa por (x_B,x_B) e intercepta a rectificante na intersecção com a q-line.
  • Faça “passos” alternando horizontais e verticais entre a rectificante/stripping e a curva de equilíbrio até atingir x_D partindo de x_B. O número de passos dados é o número de pratos teóricos.
  • Para transformar pratos teóricos em pratos reais, divide-se pelo eficiência por prato (não informada no enunciado) ou usa-se eficiência típica (por ex. 50\% 80\%) — mais um dado ausente.
Método 2 (estimativa rápida, correlação de Gilliland): se se conhece o número de pratos teóricos em refluxo infinito ( N_{\min} calculado pela equação de Fenske) e R/R_{\min}, há correlações empíricas (Gilliland) que estimam N a partir de R. Mas para usar Fenske e Gilliland também é necessária a volatilidade relativa (ou curvas VLE).
Conclusão do passo: sem VLE (ou \alpha) NÃO é possível dar o número de estágios teórico nem real numericamente.

Passo 7

Cálculo da vazão de vapor em termos de R e D (fórmula útil que você pode aplicar assim que tiver R).
Na seção rectificante, balanço de vapor e líquido no topo: o vapor que sobe V é dividido no condensador parcial em refluxo líquido L e produto de topo (vapor) D. Assim
V = L + D.
Como a razão de refluxo é \;R=L/D, temos
L = R D,\qquad V = (R+1)D.
Portanto, uma vez que D foi calculado (Passo 3) e escolhida a razão R (por ex. R=2R_{\min}), calcula-se a vazão de vapor:
V = (R+1)D.
Como já vimos, \;D \approx 338{,}46\\ \mathrm{mol/h}. Logo, se você obtiver numericamente R_{\min}, poderá computar V numa linha com essa fórmula. Sem R_{\min} numérico não há valor final para V.

Passo 8

Resumo do que falta e indicação do que precisa ser fornecido para finalizar numericamente (o que você deveria verificar/pegar na prova ou no enunciado):
Para terminar e fornecer os três números pedidos ( R_{\min}, número de estágios reais em R=2R_{\min}, e vazão de vapor correspondente) é necessário UM (qualquer) dos seguintes dados adicionais:
  • A curva de equilíbrio vapor–líquido para etanol–água a 1\\ \mathrm{atm}: dados tabulados y^{eq}(x) ou uma expressão analítica da curva; OU
  • Uma volatilidade relativa constante \alpha válida para a faixa de composições em questão (com indicação de que esse modelo é usado); OU
  • A composição do vapor no topo y_D caso o valor x_D=0{,}75 se refira ao líquido condensado (isto é, esclarecer se 0{,}75 é x_D ou y_D) e, além disso, a curva de equilíbrio ou \alpha.
Sem um desses dados, quaisquer números para R_{\min},\;N e V seriam uma suposição não justificada. Na prova, peça explicitamente a curva VLE ou a volatilidade relativa; com esses dados eu consigo executar os passos algébricos/numéricos que descrevi e te dar os valores pedindo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente R_{\min}, o número de estágios reais e a vazão de vapor porque faltam dados de equilíbrio vapor–líquido (curva \;y^{eq}(x) ou volatilidade relativa \alpha) necessários para calcular R_{\min} e os estágios.
Com os dados fornecidos, a vazão de destilado é \;D \approx 338{,}46\\ \mathrm{mol/h}.

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