Comaidere a funçäo f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida como segue:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & \text { quando } & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0, & \text { quando } & (x, y)=(0,0) \end{array}\right.
Nostas comdições, mostre o que se pede:
a) Existem as derivadas direcionais (\partial f / \partial u) em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta);

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}},&x^{2}+y^{2}\neq0,\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que, em todo ponto (x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}, a derivada direcional de f segundo qualquer vetor v=(\alpha,\beta) existe.
Conteúdo: definição de derivada direcional e diferenciabilidade de funções racionais.]

Passo 2

Se (x_{0},y_{0})\neq(0,0), então x_{0}^{4}+y_{0}^{2}>0 e f é quociente de polinômios com denominador não nulo numa vizinhança de (x_{0},y_{0}). Logo f é C^\infty ali, portanto todas as derivadas direcionais existem em (x_{0},y_{0}).

Passo 3

Em (0,0), usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial v}(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{f(0+t\alpha,0+t\beta)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t}.
Para t\neq0 e (\alpha,\beta)\neq(0,0),
f(t\alpha,t\beta) =\frac{(t\alpha)^{2}\,(t\beta)}{(t\alpha)^{4}+(t\beta)^{2}} =\frac{t^{3}\alpha^{2}\beta}{t^{4}\alpha^{4}+t^{2}\beta^{2}} =\frac{t\,\alpha^{2}\beta}{t^{2}\alpha^{4}+\beta^{2}}.
Dividindo por t,
\frac{f(t\alpha,t\beta)}{t} =\frac{\alpha^{2}\beta}{t^{2}\alpha^{4}+\beta^{2}}.
Agora, ao fazermos t\to0:
  • Se \beta\neq0, o denominador tende a \beta^{2} e o limite é
    \alpha^{2}\beta/\beta^{2}=\alpha^{2}/\beta.
  • Se \beta=0, então f(t\alpha,0)=0 e o quociente é 0.

Passo 4

Concluímos que em (0,0) o limite existe para todo v=(\alpha,\beta), e portanto todas as derivadas direcionais existem em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Para todo (x_{0},y_{0})\neq(0,0), f é C^\infty e as derivadas direcionais existem.
Em (0,0),
\frac{\partial f}{\partial v}(0,0) =\begin{cases} \dfrac{\alpha^{2}}{\beta},&\beta\neq0,\\[6pt] 0,&\beta=0. \end{cases}]

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