Nostas comdições, mostre o que se pede:
a) Existem as derivadas direcionais (\partial f / \partial u) em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}, segundo qualquer vetor v=(\alpha, \beta);
e pede para mostrar que, em todo ponto (x_{0},y_{0})\in\mathbb{R}^{2}, a derivada direcional de f segundo qualquer vetor v=(\alpha,\beta) existe.
Conteúdo: definição de derivada direcional e diferenciabilidade de funções racionais.]
Passo 2
Se (x_{0},y_{0})\neq(0,0), então x_{0}^{4}+y_{0}^{2}>0 e f é quociente de polinômios com denominador não nulo numa vizinhança de (x_{0},y_{0}). Logo f é C^\infty ali, portanto todas as derivadas direcionais existem em (x_{0},y_{0}).