Questão 5. Suponha que o movimento de uma partícula no eixo y seja regido pela equação
y^{\prime \prime}-\left(y^{\prime}\right)^{2}+y=0
Determine a relação entre v e y.

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' - (y')^2 + y = 0
e pede uma relação entre v e y, onde definimos
v = y'.
Para eliminar o parâmetro t vamos usar a regra da cadeia
y'' = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dt} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituindo y'' = v\,dv/dy e y' = v na equação original, vem
v\frac{dv}{dy} - v^2 + y = 0.

Passo 3

Observe que v^2 - y aparece naturalmente. Fazendo
u = v^2 - y
temos
\frac{du}{dy} = 2v\frac{dv}{dy} - 1.
Mas como v\,dv/dy = u, segue
\frac{du}{dy} = 2u - 1.

Passo 4

A equação \displaystyle\frac{du}{dy} = 2u - 1 separa-se em
\frac{du}{2u - 1} = dy.
Integrando ambos os lados,
\frac12\ln\lvert 2u - 1\rvert = y + C \quad\Longrightarrow\quad 2u - 1 = K e^{2y},
onde K = e^{2C}. Assim
u = \frac{1 + K e^{2y}}{2}.

Passo 5

Relembrando u = v^2 - y, obtém-se
v^2 - y = \frac{1 + K e^{2y}}{2} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = y + \frac12 + \frac{K}{2}\,e^{2y}.
Renomeando \tfrac{K}{2} por uma constante arbitrária C, chegamos à relação desejada.

Resposta

v^2 = y + \tfrac12 + C\,e^{2y},
ou, equivalentemente,
\bigl(v^2 - y - \tfrac12\bigr)e^{-2y} = \text{constante}.

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