Uma partícula está no ponto A, cujas coordenadas ( x, y ), em metros, são (20, 6). Em seguida, a partícula se movimenta e chega no ponto B, com coordenadas (-20, 15).
a) Escreva os vetores \vec{r}_{A} e \vec{r}_{B}, que localizam os pontos A e B, em função de vetores unitários.
b) Encontre os módulos dos vetores \vec{r}_{A} e \vec{r}_{B}.
c) Definindo o vetor deslocamento como \Delta \vec{r}=\vec{r}_{B}-\vec{r}_{A}, escreva \Delta \vec{r} em função de vetores unitários.
d) Encontre o módulo de \Delta \vec{r}.

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A(20,6) e B(-20,15) no plano cartesiano e pede:
– a) os vetores de posição \vec r_A e \vec r_B em função de \hat i e \hat j,
– b) os módulos \lvert \vec r_A\rvert e \lvert \vec r_B\rvert,
– c) o vetor deslocamento \Delta \vec r=\vec r_B-\vec r_A,
– d) o módulo \lvert \Delta \vec r\rvert.
Vamos usar a definição de vetor posição em coordenadas cartesianas e a fórmula do módulo de um vetor bidimensional.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y), o vetor posição é
\vec r = x\,\hat i + y\,\hat j.
Substituindo em A e B:
\vec r_A = 20\,\hat i + 6\,\hat j
\vec r_B = -20\,\hat i + 15\,\hat j

Passo 3

O módulo de \vec r = x\,\hat i + y\,\hat j é
\lvert \vec r\rvert = \sqrt{x^2 + y^2}.
Logo,
\lvert \vec r_A\rvert = \sqrt{20^2 + 6^2} = \sqrt{400 + 36} = \sqrt{436},
\lvert \vec r_B\rvert = \sqrt{(-20)^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25.

Passo 4

O vetor deslocamento é
\Delta \vec r = \vec r_B - \vec r_A = (-20 - 20)\,\hat i + (15 - 6)\,\hat j = -40\,\hat i + 9\,\hat j.

Passo 5

Aplicando de novo a fórmula do módulo a \Delta \vec r = -40\,\hat i + 9\,\hat j:
\lvert \Delta \vec r\rvert = \sqrt{(-40)^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41.

Resposta

a) \vec r_A = 20\,\hat i + 6\,\hat j e \vec r_B = -20\,\hat i + 15\,\hat j
b) \lvert \vec r_A\rvert = \sqrt{436}\,\text{m} e \lvert \vec r_B\rvert = 25\,\text{m}
c) \Delta \vec r = -40\,\hat i + 9\,\hat j
d) \lvert \Delta \vec r\rvert = 41\,\text{m}

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