e pede para verificar se elas são paralelas e se se intersectam. Vamos usar geometria analítica de retas: obtendo vetores diretores para testar paralelismo e igualando coordenadas para testar interseção.
Retas são paralelas se \vec d_{1}=\lambda\,\vec d_{2} para algum \lambda. Da primeira componente teríamos \lambda=\tfrac12, mas então a segunda exigiria 2=-\tfrac12, absurdo. Logo, não são paralelas.
Passo 3
Para ver se se intersectam, igualamos as coordenadas de L_{1}\) e \(L_{2}\):
\[\begin{cases} 2 + t = -3 + 2s,\\\\ -1 + 2t = 5 - s,\\\\ 4 - t = 1 + 3s. \end{cases}
Da primeira equação vem \displaystyle t = -5 + 2s\].
Substituindo na terceira:
\[(-5 + 2s) + 3s = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5s = 8 \quad\Longrightarrow\quad s = \tfrac{8}{5},\; t = -5 + 2\cdot\tfrac{8}{5} = -\tfrac{9}{5}.\]
Agora colocamos esses valores na segunda equação:
\[2\Bigl(-\tfrac{9}{5}\Bigr) + \tfrac{8}{5} = -\tfrac{18}{5} + \tfrac{8}{5} = -2 \neq 6,\]
o que mostra que não há \((t,s) que satisfaça todas as três equações. Portanto, não se intersectam.
Resposta
As retas não são paralelas e também não se intersectam (são reversas).