Considere as retas
L_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=2+t \\\ y=-1+2 t,-\infty<t<+\infty \\\ z=4-t \end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=-3+2 s \\\ y=5-s \\\ z=1+3 s \end{array},-\infty<s<+\infty\right.\right.
Elas são paralelas? Elas se intersectam?

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
L_{1}:\begin{cases} x=2+t,\\\ y=-1+2t,\\\ z=4-t, \end{cases} \quad L_{2}:\begin{cases} x=-3+2s,\\\ y=5-s,\\\ z=1+3s, \end{cases}
e pede para verificar se elas são paralelas e se se intersectam. Vamos usar geometria analítica de retas: obtendo vetores diretores para testar paralelismo e igualando coordenadas para testar interseção.

Passo 2

Cada reta tem um vetor diretor:
\vec d_{1} = (1,\,2,\,-1), \qquad \vec d_{2} = (2,\,-1,\,3).
Retas são paralelas se \vec d_{1}=\lambda\,\vec d_{2} para algum \lambda. Da primeira componente teríamos \lambda=\tfrac12, mas então a segunda exigiria 2=-\tfrac12, absurdo. Logo, não são paralelas.

Passo 3

Para ver se se intersectam, igualamos as coordenadas de L_{1}\) e \(L_{2}\): \[\begin{cases} 2 + t = -3 + 2s,\\\\ -1 + 2t = 5 - s,\\\\ 4 - t = 1 + 3s. \end{cases}
Da primeira equação vem \displaystyle t = -5 + 2s\]. Substituindo na terceira: \[(-5 + 2s) + 3s = 3 \quad\Longrightarrow\quad 5s = 8 \quad\Longrightarrow\quad s = \tfrac{8}{5},\; t = -5 + 2\cdot\tfrac{8}{5} = -\tfrac{9}{5}.\] Agora colocamos esses valores na segunda equação: \[2\Bigl(-\tfrac{9}{5}\Bigr) + \tfrac{8}{5} = -\tfrac{18}{5} + \tfrac{8}{5} = -2 \neq 6,\] o que mostra que não há \((t,s) que satisfaça todas as três equações. Portanto, não se intersectam.

Resposta

As retas não são paralelas e também não se intersectam (são reversas).

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