Suponha que X seja uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu e variância \sigma 2=1. Para uma amostra de tamanho n, x 1, \ldots, x n, determine o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \mu e mostre que o mesmo é um estimador consistente.
No caso da distribuição normal, temos que os EMV para \mu e \sigma^{2} são
\hat{\mu}=\bar{X} \text { e } \hat{\sigma}^{2}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n} .
Para obter o EMV da função h\left(\mu, \sigma^{2}\right)=\sqrt{\sigma^{2}}=\sigma, temos:
O enunciado dá uma amostra x_{1},\ldots,x_{n} retirada de uma variável aleatória X com distribuição normal de média \mu e variância conhecida \sigma^{2}=1. As perguntas são:
Determinar o estimador de máxima verossimilhança (EMV) para \mu.
Mostrar que esse estimador é consistente.
Informações relevantes dadas:
Observações independentes X_{1},\ldots,X_{n} (cada uma com a mesma distribuição de X).
Densidade de cada observação, por ser normal com variância 1, é \displaystyle f(x_i;\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(x_i-\mu)^{2}/2}.
Queremos a estimativa de \mu que maximize a verossimilhança e provar que converge para \mu quando n\to\infty.
Passo 2
Escrevemos a função verossimilhança como produto das densidades (assumindo independência):
Como o primeiro termo não depende de \mu, a parte relevante é -\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^{2}. Para encontrar o máximo, derivamos \ell(\mu) em relação a \mu e igualamos a zero. Calculando a derivada:
Segunda derivada negativa indica que o ponto crítico é um máximo. Portanto \hat{\mu}=\bar{X} é de fato o EMV.
Passo 5
Agora mostramos que \hat{\mu}=\bar{X} é consistente. Primeiro calculamos esperança e variância de \bar{X}. Como cada X_i tem E[X_i]=\mu e \operatorname{Var}(X_i)=1, pela linearidade da esperança:
Como o lado direito \dfrac{1}{n\varepsilon^{2}}\to 0 quando n\to\infty, segue que \bar{X}\xrightarrow{P}\mu. Portanto \hat{\mu}=\bar{X} é consistente. (Alternativamente, isto também decorre diretamente da Lei Fraca dos Grandes Números, que afirma que a média amostral converge em probabilidade para a esperança quando as observações são iid e têm esperança finita.)
Resposta
\displaystyle \hat{\mu}=\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\n\displaystyle \hat{\mu}=\bar{X}\text{ é consistente: }\bar{X}\xrightarrow{P}\mu\\ (\text{pois }\operatorname{Var}(\bar{X})=1/n\to0)é