O que é a combinação linear de dois vetores? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é a combinação linear de dois vetores. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular suma e multiplicação de vetores por escalares. Para resolver precisamos conhecer o conceito de vetor em R^n e o que são escalares (números reais que multiplicam vetores).

Passo 2

Uma combinação linear de dois vetores v1 e v2 é qualquer vetor obtido ao somarmos cada um deles multiplicado por um escalar. Formalmente, dados escalares alpha e beta em R, a combinação linear é
alpha,v1 ;+;beta,v2

Passo 3

Aqui alpha e beta são números reais que “pesam” cada vetor na soma. Esse conceito é fundamental porque o espaço gerado por v1 e v2 (também chamado de span) é justamente o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores.

Passo 4

Exemplo concreto em R^2: seja
v1 = (1,2), v2 = (3,4), alpha = 2, beta = -1
A combinação linear é
2,(1,2) + (-1),(3,4) = (2cdot1 - 1cdot3,,2cdot2 - 1cdot4) = (2 - 3,,4 - 4) = (-1,,0)

Resposta

A combinação linear de dois vetores v1 e v2 é o vetor alpha,v1 + beta,v2, em que alpha,betainR.
Exemplo: com v1=(1,2), v2=(3,4), alpha=2, beta=-1, obtemos (-1,0).

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