Com dois vetores do R^2 como geramos outros vetores desse espaço?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Dados dois vetores em R^2, como geramos outros vetores desse espaço?”
Conteúdo envolvido: combinação linear, subespaço gerado (span) e condição de formar base em R^2.

Passo 2

Definimos a combinação linear de dois vetores v1 e v2 em R^2 como
alpha v1 + beta v2,
onde alpha,betainR. O conjunto de todos esses linearmente combinações chama-se subespaço gerado por v1 e v2:
Spanv1,v2 = alpha v1 + beta v2 mid alpha,betainR

Passo 3

Para que esses dois vetores gerem o todo R^2, ou seja, para que
Spanv1,v2=R^2, é preciso que eles sejam linearmente independentes. Isso significa que não existe par (alpha,beta)neq(0,0) tal que
alpha v1 + beta v2 = 0

Passo 4

Na prática, dado um vetor arbitrário w=(x,y)inR^2, você gera w resolvendo o sistema
alpha v1 + beta v2 = w
em alpha,beta. Se v1 e v2 são LI, esse sistema sempre terá solução única, e assim qualquer w é combinação linear deles.

Resposta

Geramos outros vetores de R^2 tomando combinações lineares
alpha v1 + beta v2,
com alpha,betainR. Se v1 e v2 são linearmente independentes, então !v1,v2! forma uma base de R^2 e
Spanv1,v2=R^2.

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