Para isso, precisamos provar duas coisas: . Que , ou seja, todo pode ser escrito como soma de um vetor de e um de . . Que , i.e.\ a interseção só tem o vetor nulo.
Passo 2
Seja
com e . Comparando coordenadas, temos
Da terceira igualdade segue pois suas três coordenadas são iguais, e pois a coordenada vale zero. Assim qualquer se decompõe, provando .
Passo 3
Para ver que Ucap W=0, tome um vetor v em Ucap W. Então
v = (t,t,t)in U e v = (x,y,0)in W
Pela segunda descrição, a componente z de v é zero, mas pela primeira é t. Logo t=0. Assim v=(0,0,0) é o único vetor comum, e portanto
Ucap W = (0,0,0)
Passo 4
Como mostramos que U+W=R^3 e que Ucap W=0, pela definição de soma direta segue imediatamente