Considere os subespaços U, W do R^3 definidos por:
U=(x, y, z) in R^3 mid y=x=z e W=(x, y, z) in R^3 mid z=0
Mostre que R^3=U oplus W.

Passo 1

O enunciado nos dá os subespaços
U = (x,y,z)inR^3 mid y=x=z e W = (x,y,z)inR^3 mid z=0
e pede para mostrar que
R^3 = U oplus W
Para isso, precisamos provar duas coisas:
1. Que U + W = R^3, ou seja, todo (a,b,c)inR^3 pode ser escrito como soma de um vetor de U e um de W.
2. Que U cap W = (0,0,0), i.e.\ a interseção só tem o vetor nulo.

Passo 2

Seja
com e . Comparando coordenadas, temos
Da terceira igualdade segue pois suas três coordenadas são iguais, e pois a coordenada vale zero. Assim qualquer se decompõe, provando .

Passo 3

Para ver que Ucap W=0, tome um vetor v em Ucap W. Então
v = (t,t,t)in U e v = (x,y,0)in W
Pela segunda descrição, a componente z de v é zero, mas pela primeira é t. Logo t=0. Assim v=(0,0,0) é o único vetor comum, e portanto
Ucap W = (0,0,0)

Passo 4

Como mostramos que U+W=R^3 e que Ucap W=0, pela definição de soma direta segue imediatamente
R^3 = U oplus W

Resposta

R^3 = U oplus W.

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