No espaço vetorial V=F(R ; R) considere:
F1 o conjunto das funções f: R longrightarrow R que se anulam em todos os pontos do intervalo [0, 1];
F2 o conjunto das funções f: R longrightarrow R que se anulam em todos os pontos do intervalo [2,3].
(a) Mostre que F1 e F2 são subespaços vetoriais de V=F(R ; R).
(b) Prove que V=F1+F2, mas não se tem V=F1 oplus F2.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial
V=F(R;R)
e define
F1=,fin Vmid f(x)=0 para todo xin[0,1],
F2=,fin Vmid f(x)=0 para todo xin[2,3]
Pede-se: (a) mostrar que F1 e F2 são subespaços de V; (b) provar que V=F1+F2 mas Vneq F1oplus F2. Para isso vamos usar a definição de subespaço, a descrição da soma de subespaços e o critério de soma direta (interseção trivial).

Passo 2

Vamos verificar que cada Fi é subespaço de V. Seja iin1,2.
  1. A função zero zeta(x)=0 pertence a Fi porque ela anula qualquer intervalo.
  2. Se f,gin Fi, então para todo x no intervalo respectivo temos f(x)=0 e g(x)=0. Logo
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0
nesse mesmo intervalo, de modo que f+gin Fi.
3. Se fin Fi e lambdainR, então para todo x no intervalo temos f(x)=0 e assim
(lambda f)(x)=lambdacdot 0=0,
logo lambda fin Fi.
Portanto cada Fi satisfaz as três condições de subespaço (contém zero, fechado sob soma e sob multiplicação escalar).

Passo 3

Agora mostramos que
Dado um , vamos construir e tais que . Defina
e seja
Como , em particular em , temos . E como em , resulta em , logo . Por construção , o que mostra . A inclusão inversa é óbvia, pois soma de vetores de está em . Assim .

Passo 4

Para que V=F1oplus F2 seria necessário além de V=F1+F2 que
F1cap F2=0
Mas
F1cap F2 =,fin Vmid f(x)=0 em [0,1] e em [2,3]
contém muitas funções não nulas (por exemplo qualquer função que seja zero nesses dois intervalos e não zero em outro ponto). Logo F1cap F2neq0 e a soma não é direta.

Resposta

(a) F1 e F2 são subespaços vetoriais de V.
(b) Tem-se V=F1+F2, mas não V=F1oplus F2 porque F1cap F2neq0.

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