No espaço vetorial considere: o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos do intervalo [0, 1]; o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos do intervalo .
(a) Mostre que e são subespaços vetoriais de .
(b) Prove que , mas não se tem .
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
e define
Pede-se: (a) mostrar que e são subespaços de ; (b) provar que mas . Para isso vamos usar a definição de subespaço, a descrição da soma de subespaços e o critério de soma direta (interseção trivial).
Passo 2
Vamos verificar que cada é subespaço de . Seja .
A função zero pertence a porque ela anula qualquer intervalo.
Se , então para todo no intervalo respectivo temos e . Logo
nesse mesmo intervalo, de modo que .
3. Se e , então para todo no intervalo temos e assim
logo .
Portanto cada satisfaz as três condições de subespaço (contém zero, fechado sob soma e sob multiplicação escalar).
Passo 3
Agora mostramos que
Dado um , vamos construir e tais que . Defina
e seja
Como , em particular em , temos . E como em , resulta em , logo . Por construção , o que mostra . A inclusão inversa é óbvia, pois soma de vetores de está em . Assim .
Passo 4
Para que V=F1oplus F2 seria necessário além de V=F1+F2 que
F1cap F2=0
Mas
F1cap F2 =,fin Vmid f(x)=0 em [0,1] e em [2,3]
contém muitas funções não nulas (por exemplo qualquer função que seja zero nesses dois intervalos e não zero em outro ponto). Logo F1cap F2neq0 e a soma não é direta.
Resposta
(a) F1 e F2 são subespaços vetoriais de V.
(b) Tem-se V=F1+F2, mas não V=F1oplus F2 porque F1cap F2neq0.