Que combinação linear de (1,2,-1) e (1,0,1) está mais próxima de b=(2,1,1)?

Passo 1

O enunciado pede a combinação linear de v1=(1,2,-1) e v2=(1,0,1) que fica mais próxima de b=(2,1,1). Isso equivale a projetar b sobre o subespaço S=spanv1,v2. Para resolver, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que leva às equações normais.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são e . Queremos minimizar
cuja condição de ótimo é

Passo 3

Calculamos as entradas de A^T A e A^Tb. Primeiro,
A^T A = lang<= v1,v1rang<= & lang<= v1,v2rang<=[6pt] lang<= v2,v1rang<= & lang<= v2,v2rang<= = 6 & 0 0 & 2 ,
pois lang<= v1,v1rang<==6, lang<= v1,v2rang<==0 e lang<= v2,v2rang<==2. Em seguida,
A^Tb = lang<= v1,brang<=[4pt] lang<= v2,brang<= = 3 3 ,
já que lang<= v1,brang<==3 e lang<= v2,brang<==3.]

Passo 4

As equações normais são
logo

Passo 5

Assim, a combinação linear que mais se aproxima de b é
x,v1+y,v2 =12(1,2,-1)+32(1,0,1) =(2,1,1),
isto é, exatamente b.

Resposta

A combinação linear mais próxima é
12(1,2,-1)+32(1,0,1)

Exercícios relacionados