Projete b no espaço coluna de A resolvendo A^T A x=A^T b e p=A x :
A=[ll1 & 1 1 & 1 0 & 1] e b=[l4 4 6]
Encontre e=b-p. Deve ser perpendicular às colunas de A.

Passo 1

O enunciado pede para projetar b no espaço coluna de A usando as equações normais
,A^T A, x=A^T b
e depois calcular p = A, x. O objetivo final é encontrar o erro e = b - p, que deve ser perpendicular às colunas de A. O conteúdo envolvido é projeção ortogonal e resolução de sistemas lineares por equações normais.

Passo 2

Calculamos os produtos A^T A e A^T b. As colunas de A são (1,1,0)^T e (1,1,1)^T, logo
A^T A = 2 & 2 2 & 3, A^T b = 8 14

Passo 3

Montamos o sistema normal
2 & 2 2 & 3 hat x1 hat x2 = 8 14
Da primeira equação 2hat x1 + 2hat x2 = 8 vem hat x1 + hat x2 = 4, ou seja hat x1 = 4 - hat x2. Substituindo na segunda 2hat x1 + 3hat x2 = 14 obtemos hat x2 = 6 e assim hat x1 = -2.

Passo 4

Agora calculamos a projeção
p = A, x = 1 & 1 1 & 1 0 & 1 -2 6 = 4 4 6

Passo 5

O erro é
e = b - p = 4 4 6 - 4 4 6 = 0 0 0
Como e é o vetor nulo, ele é automaticamente ortogonal a qualquer coluna de A.

Resposta

e = 0 0 0

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