Use P^T=P e P^2=P para provar que o quadrado do comprimento da coluna 2 sempre é igual à entrada diagonal P22. Este número é 26=436+436+436 para
P=16[ccc 5 & 2 & -1 2 & 2 & 2 -1 & 2 & 5 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se P é simétrica ( P^T = P) e idempotente ( P^2 = P), então o quadrado do comprimento da coluna j de P (que é sumi Pij^2) coincide com a entrada diagonal Pjj. Em seguida, aplica-se isso à coluna 2 da matriz
P = 16 5 & 2 & -1 2 & 2 & 2 -1 & 2 & 5
e mostra-se que esse valor é
P22 = 26 e sumi=1^3 Pi2^2 = 436+436+436 = 26

Passo 2

Da idempotência P^2 = P, tomamos a linha j de P e a coluna j de P. A entrada (j,j) de P^2 atende
(P^2)jj = sumk=1^3 Pjk,Pkj
Como P^2=P, conclui-se
Pjj = sumk=1^3 Pjk,Pkj

Passo 3

Como P é simétrica ( Pjk=Pkj), podemos escrever
Pjj = sumk=1^3 Pjk,Pjk = sumk=1^3 Pjk^2
Isso mostra em geral que o quadrado do comprimento da coluna j (que é sumi Pij^2) é igual à entrada diagonal Pjj.

Passo 4

No caso j=2, a coluna 2 de P é
l(P12,P22,P32r) = l(tfrac26,,tfrac26,,tfrac26r)
Calculamos
sumi=1^3 Pi2^2 = l(tfrac26r)^2 + l(tfrac26r)^2 + l(tfrac26r)^2 = 3cdot 436 = 1236 = 13 = 26
E de fato P22 = tfrac26 = tfrac13.

Resposta

O quadrado do comprimento da coluna 2 é
sumi=1^3 Pi2^2 = 436+436+436 = 26,
que coincide com P22=tfrac26.

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