Combinando o princípio da superposição e o método dos coeficientes indeterminados, obtenha uma solução particular da seguinte EDO
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}+y=e^{2 x} \cos ^{2}(x)
DICA: Lembre-se que \cos ^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + \frac{dy}{dx} + y = e^{2x}\cos^2(x).
O conteúdo principal é o método dos coeficientes indeterminados combinado com o princípio da superposição: vamos decompor o termo não homogêneo em partes mais simples, achar uma solução particular para cada parte e somá-las.

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica
\cos^2(x) = \tfrac12 + \tfrac12\cos(2x),
temos
e^{2x}\cos^2(x) = \tfrac12\,e^{2x} + \tfrac12\,e^{2x}\cos(2x).
Pelas propriedades de linearidade, buscamos
y_p = y_{p1} + y_{p2},
onde y_{p1} resolve
y'' + y' + y = \tfrac12\,e^{2x},
e y_{p2} resolve
y'' + y' + y = \tfrac12\,e^{2x}\cos(2x).

Passo 3

Para
y'' + y' + y = \tfrac12\,e^{2x},
tente y_{p1} = A\,e^{2x}. Calculando
y_{p1}' = 2A\,e^{2x}, \quad y_{p1}'' = 4A\,e^{2x},
temos
y_{p1}'' + y_{p1}' + y_{p1} = (4A + 2A + A)\,e^{2x} = 7A\,e^{2x} \overset!= \tfrac12\,e^{2x}.
Logo 7A = \tfrac12, isto é
A = \tfrac1{14}.
Portanto
y_{p1} = \tfrac1{14}\,e^{2x}.

Passo 4

Para
y'' + y' + y = \tfrac12\,e^{2x}\cos(2x),
tente
y_{p2} = e^{2x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr).
Defina u(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x). Então
y''+y'+y = e^{2x}\bigl(u'' + 5u' + 7u\bigr).
Como
u' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x), \quad u'' = -4A\cos(2x) -4B\sin(2x),
segue
u'' + 5u' + 7u = (3A + 10B)\cos(2x) + (3B -10A)\sin(2x).
Queremos isso igual a \tfrac12\cos(2x), isto é
3A + 10B = \tfrac12, \quad 3B - 10A = 0.
Da segunda equação 3B=10A, logo B=\tfrac{10A}{3}. Substituindo na primeira:
3A + 10\cdot\frac{10A}{3} = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; \frac{9A +100A}{3} = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; 109A = \tfrac32 \;\Longrightarrow\; A = \frac{3}{218},
e então
B = \frac{10}{3}\,A = \frac{10}{218} = \frac{5}{109}.
Assim
y_{p2} = e^{2x}\!\Bigl(\tfrac{3}{218}\cos(2x) + \tfrac{5}{109}\sin(2x)\Bigr).

Passo 5

Pela superposição,
y_p = y_{p1} + y_{p2} = \frac1{14}\,e^{2x} + e^{2x}\!\Bigl(\tfrac{3}{218}\cos(2x) + \tfrac{5}{109}\sin(2x)\Bigr).

Resposta

\boxed{ y_p(x) = \frac1{14}\,e^{2x} + e^{2x}\!\Bigl(\tfrac{3}{218}\cos(2x) + \tfrac{5}{109}\sin(2x)\Bigr) }.

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