Determine se os pontos A(1,0,1), B(2,5,2), C(2,-1,1), D(6,1,3) são coplanares. Se forem concorrentes, determine o ponto de intersecção.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço:
A(1,0,1),\quad B(2,5,2),\quad C(2,-1,1),\quad D(6,1,3),
e pede para verificar se eles são coplanares. Para isso vamos usar o produto misto (ou triplo escalar) dos vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}. Se o produto misto for zero, os quatro pontos são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 2

Calculemos os vetores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;5-0,\;2-1) = (1,\,5,\,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;-1-0,\;1-1) = (1,\,-1,\,0),
\overrightarrow{AD} = D - A = (6-1,\;1-0,\;3-1) = (5,\,1,\,2).

Passo 3

O produto misto \bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr] é o determinante
\det \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1\\\\ 1 & -1& 0\\\\ 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Vamos calculá-lo por expansão na primeira linha:
\begin{aligned} \det &= 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&2\end{pmatrix} -5\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 5&2\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 5&1\end{pmatrix}\\[6pt] &= 1\bigl((-1)\cdot2 - 0\cdot1\bigr) -5\bigl(1\cdot2 - 0\cdot5\bigr) +1\bigl(1\cdot1 -(-1)\cdot5\bigr)\\[4pt] &= 1\cdot(-2) -5\cdot2 +1\cdot(1+5) = -2 -10 +6 = -6. \end{aligned}]

Passo 4

Como o produto misto é -6\neq0, concluímos que \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} não são coplanares. Logo, os pontos A,B,C,D também não são coplanares.

Resposta

Os quatro pontos não são coplanares.

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