Use o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular da EDO
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+2 y=2 e^{-x} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\frac{dy}{dx} + 2y = 2e^{-x}\sin(x).
Este é um caso de equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, observando que o termo forçante e^{-x}\sin x tem a mesma forma dos modos da solução homogênea (resonância), o que exigirá multiplicar o ansatz por x.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^{2} + 2r + 2=0
cuja solução é
r = -1 \pm i.
O termo forçante é 2e^{-x}\sin x, correspondente ao modo e^{-x}\sin x. Como -1\pm i são raízes, há ressonância, e o ansatz para a solução particular deve ser
y_{p}(x)=x\,e^{-x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).

Passo 3

Para facilitar, defina
u(x)=x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
de modo que y_{p}=e^{-x}u. Então, é conhecido que
y_{p}''+2y_{p}'+2y_{p} =e^{-x}\bigl(u''+u\bigr).

Passo 4

Calculemos u''+u. Temos
u(x)=A x\cos x + B x\sin x
e, após derivar duas vezes e somar u, obtém-se
u''+u = 2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr).

Passo 5

Queremos
y_{p}''+2y_{p}'+2y_{p}=2e^{-x}\sin x
que equivale a
e^{-x}(u''+u)=2e^{-x}\sin x \quad\Longrightarrow\quad u''+u=2\sin x.
Logo
2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr)=2\sin x \quad\Longrightarrow\quad -A\sin x + B\cos x = \sin x.
Comparando coeficientes:
-A=1\implies A=-1,\qquad B=0.

Resposta

y_{p}(x)=-x\,e^{-x}\cos x.

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