Use o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular da EDO
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=2 \cos (2 t)

Passo 1

Temos a EDO linear não homogênea
y'' + y' + y = 2\cos(2t),
queremos encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolvido é escolher um palpite para y_p compatível com o termo forçante e determinar seus coeficientes.

Passo 2

O termo forçante é 2\cos(2t). A equação característica da parte homogênea y''+y'+y=0 é
r^2 + r + 1 = 0,
cuja raiz complexa não tem parte imaginária \pm2i. Logo não há ressonância e podemos tomar o palpite
y_p = A\cos(2t) + B\sin(2t),
com A e B constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
y_p'' = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).

Passo 4

Substituímos na EDO y''+y'+y:
y_p'' + y_p' + y_p = (-4A\cos2t -4B\sin2t) +(-2A\sin2t +2B\cos2t) +(A\cos2t +B\sin2t).
Agrupando termos em \cos(2t) e \sin(2t):
(-4A +2B +A)\cos2t +(-4B -2A +B)\sin2t = (-3A+2B)\cos2t +(-2A-3B)\sin2t.

Passo 5

Esse resultado deve igualar 2\cos(2t), ou seja
(-3A+2B)\cos2t +(-2A-3B)\sin2t = 2\cos2t +0\sin2t.
Igualando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} -3A + 2B = 2,\\\\ -2A - 3B = 0. \end{cases}

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação -2A -3B=0 vem B=-\tfrac{2}{3}A. Substituindo na primeira,
-3A +2\bigl(-\tfrac{2}{3}A\bigr)=2 \;\longrightarrow\; -3A -\tfrac{4}{3}A = 2 \;\longrightarrow\; -\tfrac{13}{3}A = 2 \;\longrightarrow\; A = -\tfrac{6}{13},
B = -\tfrac{2}{3}\bigl(-\tfrac{6}{13}\bigr) = \tfrac{4}{13}.

Passo 7

Portanto, uma solução particular é
y_p(t) = -\frac{6}{13}\cos(2t) + \frac{4}{13}\sin(2t).

Resposta

y_p(t) = -\frac{6}{13}\cos(2t) + \frac{4}{13}\sin(2t).

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