* QUESTÃO 3 (4 PONTOS):

Considere a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=\frac{x^{2}}{x-2}
(a) Determine os pontos criticos de f.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
(c) Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de f e seus valores.
(d) Analise a concavidade do gráfico de f.
(e) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado trata de f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=\frac{x^2}{x-2},
e pede: (a) pontos críticos, (b) intervalos de crescimento/decrescimento, (c) extremos locais, (d) concavidade, (e) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, teste de sinais e análise de assíntotas.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra do quociente. Seja N(x)=x^2 e D(x)=x-2. Então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^2} =\frac{2x(x-2)-x^2\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} =\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}.

Passo 3

Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou indefinida (no domínio). Temos
f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=4.
Em x=2 o denominador anula-se, mas x=2 não pertence ao domínio. Logo os únicos pontos críticos são x=0 e x=4.

Passo 4

Para monotonicidade avaliamos o sinal de
f'(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}.
O denominador é sempre positivo em \mathbb{R}\setminus\{2\}. Assim o sinal de f' é o de x(x-4). Fazendo a tabela de sinais nos intervalos (-\infty,0), (0,2), (2,4) e (4,\infty), obtemos:
  • x<0: x(x-4)>0 f'\!>\!0 (crescente).
  • 0<x<4: x(x-4)<0 f'\!<\!0 (decrescente), valendo tanto em (0,2) como em (2,4).
  • x>4: x(x-4)>0 f'\!>\!0 (crescente).

Passo 5

Pelo teste da variação de sinal de f':
  • Em x=0, f' muda de positivo para negativo ⇒ máximo local. Vale f(0)=0/(0-2)=0.
  • Em x=4, f' muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local. Vale f(4)=16/(4-2)=8.

Passo 6

Calculamos a derivada segunda para concavidade. Partindo de f'(x)=x(x-4)/(x-2)^2 e aplicando quociente,
f''(x)=\frac{8}{(x-2)^3}.
Assim:
  • Para x<2, (x-2)^3<0 f''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Para x>2, (x-2)^3>0 f''(x)>0: concavidade para cima.
    Como x=2 não está no domínio, não há ponto de inflexão no domínio.

Passo 7

Para o esboço notamos:
– Assíntota vertical em x=2.
– Dividindo x^2 por (x-2) obtemos assíntota oblíqua
y=x+2.
– Pontos notáveis: (0,0) máximo, (4,8) mínimo.
– Monotonicidade e concavidade em cada ramo definem o formato.

Resposta

(a) Pontos críticos: x=0 e x=4.
(b) f cresce em (-\infty,0) e (4,\infty); decresce em (0,2) e (2,4).
(c) Máximo local em (0,0); mínimo local em (4,8).
(d) f é côncava para baixo em (-\infty,2) e côncava para cima em (2,\infty); sem inflexões no domínio.
(e) Gráfico com assíntotas x=2 e y=x+2, mostrando os pontos críticos e respetivas curvaturas.

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