* QUESTÃO 3 (4 PONTOS):
Considere a função
, dada por
(a) Determine os pontos criticos de
.
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
(c) Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de
e seus valores.
(d) Analise a concavidade do gráfico de
.
(e) Esboce o gráfico de
.
(a) Determine os pontos criticos de
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
(c) Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de
(d) Analise a concavidade do gráfico de
(e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado trata de
dada por
e pede: (a) pontos críticos, (b) intervalos de crescimento/decrescimento, (c) extremos locais, (d) concavidade, (e) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, teste de sinais e análise de assíntotas.
Passo 2
Calculamos a derivada usando regra do quociente. Seja
e
. Então
Passo 3
Pontos críticos são onde
ou indefinida (no domínio). Temos
Em
o denominador anula-se, mas
não pertence ao domínio. Logo os únicos pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para monotonicidade avaliamos o sinal de
O denominador é sempre positivo em
. Assim o sinal de
é o de
. Fazendo a tabela de sinais nos intervalos
,
,
e
, obtemos:
-
: ⇒ (crescente). -
: ⇒ (decrescente), valendo tanto em como em . -
: ⇒ (crescente).
Passo 5
Pelo teste da variação de sinal de
:
- Em
, muda de positivo para negativo ⇒ máximo local. Vale . - Em
, muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local. Vale .
Passo 6
Calculamos a derivada segunda para concavidade. Partindo de
e aplicando quociente,
Assim:
- Para
, ⇒ : concavidade para baixo. - Para
, ⇒ : concavidade para cima.
Comonão está no domínio, não há ponto de inflexão no domínio.
Passo 7
Para o esboço notamos:
– Assíntota vertical em .
– Dividindo por
obtemos assíntota oblíqua
– Assíntota vertical em
– Dividindo
– Pontos notáveis:
máximo,
mínimo.
– Monotonicidade e concavidade em cada ramo definem o formato.
– Monotonicidade e concavidade em cada ramo definem o formato.
Resposta
(a) Pontos críticos:
e
.
(b) cresce em
e
; decresce em
e
.
(c) Máximo local em ; mínimo local em
.
(d) é côncava para baixo em
e côncava para cima em
; sem inflexões no domínio.
(e) Gráfico com assíntotas e
, mostrando os pontos críticos e respetivas curvaturas.
(b)
(c) Máximo local em
(d)
(e) Gráfico com assíntotas