(a) Combine as grandezas h, G e c para formar uma grandeza com dimensão de massa. Não inclua nenhum fator adimensional. (Sugestão: Considere as unidades de h, G e c como apresentadas no Exemplo 237.) (b) Calcule esta “massa de Planck” numericamente.

Passo 1

O enunciado pede para combinar as constantes de Planck h, G e c de modo a obter uma quantidade com dimensão de massa. Nosso método será análise dimensional. As dimensões são: \,[h]=M\,L^2\,T^{-1}, \,[G]=L^3\,M^{-1}\,T^{-2}, \,[c]=L\,T^{-1}.

Passo 2

Procuramos uma combinação
m \sim h^a\,G^b\,c^d
cujo expoente de massa seja 1, e de comprimento e tempo sejam zero. Escrevendo as dimensões:
[h^a\,G^b\,c^d]\;=\; M^{\,a-b}\;L^{\,2a+3b+d}\;T^{\,-a-2b-d}.
Igualando expoentes a M^1L^0T^0\) dá o sistema \[\begin{cases} a - b = 1,\\\\ 2a + 3b + d = 0,\\\\ -\,a - 2b - d = 0. \end{cases}
Resolvendo, obtemos a=\tfrac12\], \(b=-\tfrac12, d=\tfrac12.

Passo 3

Substituindo esses expoentes, a expressão para a massa de Planck (sem fatores adimensionais) é
m_P \;=\;\sqrt{\frac{h\,c}{G}}.

Passo 4

Para o valor numérico, use
h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s},\quad c=3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s},\quad G=6{,}67\times10^{-11}\,\mathrm{m^3/(kg\,s^2)}.
Calculando
\frac{h\,c}{G} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\times3{,}00\times10^8}{6{,}67\times10^{-11}} \approx2{,}98\times10^{-15},
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m_P=\sqrt{2{,}98\times10^{-15}}\approx5{,}5\times10^{-8}\,\mathrm{kg}.

Resposta

(a) \displaystyle m_P=\sqrt{\frac{h\,c}{G}}.
(b) \displaystyle m_P\approx5{,}5\times10^{-8}\,\mathrm{kg}.

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