Combine o método dos coeficientes indeterminados e o método de variação de parâmetros (desenvolva o método) para resolver a seguinte equação diferencial,
3 y^prime prime-6 y^prime+30 y=15 sen x+e^x tg(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de coeficientes constantes
3y''-6y'+30y=15sin x+e^xtan(3x)
O plano é:
  1. Resolver a parte homogênea usando raiz do polinômio característico.
  2. Usar coeficientes indeterminados para a parte 15sin x.
  3. Usar variação de parâmetros para a parte e^xtan(3x), desenvolvendo o método.

Passo 2

Começamos pela homogênea
3y''-6y'+30y=0
e obtemos o polinômio
3r^2-6r+30=0;Longrightarrow;r^2-2r+10=0;Longrightarrow;r=1pm3i
Logo as soluções fundamentais são
y1=e^xcos(3x), y2=e^xsin(3x)
e
yh=C1,y1+C2,y2

Passo 3

Para o termo 15sin x usamos coeficientes indeterminados. Propomos
yp1=Acos x+Bsin x
Então
yp1'=-Asin x+Bcos x, yp1''=-Acos x-Bsin x
Substituindo em 3y''-6y'+30y=15sin x
(-3A-6B+30A)cos x+( -3B+6A+30B)sin x=0cos x+15sin x
Isto gera o sistema
27A-6B=0, 6A+27B=15,
cuja solução é
A=217, B=917
Portanto
yp1=217cos x+917sin x

Passo 4

Agora tratamos o termo e^xtan(3x) por variação de parâmetros. Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y''-2y'+10y=g(x), g(x)=13l(15sin x+e^xtan(3x)r)
Para a parte g2(x)=tfrac13e^xtan(3x) tomamos as bases y1,y2 do homogêneo. O Wronskiano vale
W=y1y2'-y1'y2 =3e^2x

Passo 5

Pela fórmula de variação de parâmetros definimos funções u1,u2 tais que
u1'=-g2(x),y2W, u2'=g2(x),y1W
Aqui g2(x)=tfrac13e^xtan(3x). Calcula-se
u1'=-tfrac13e^xtan(3x)cdot e^xsin(3x)3e^2x =-19sin^2(3x)cos(3x) =-19l(sec(3x)-cos(3x)r),
u2'=tfrac13e^xtan(3x)cdot e^xcos(3x)3e^2x =19sin(3x)
Integramos:
u1=-19integralsec(3x),dx+19integralcos(3x),dx =-127lnl|sec(3x)+tan(3x)r| +127sin(3x),
u2=19integralsin(3x),dx=-127cos(3x)
Então a parte particular por variação é
yp2=u1,y1+u2,y2 =-127e^xcos(3x)ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|

Passo 6

A solução geral é a soma
y=yh+yp1+yp2 =C1e^xcos(3x)+C2e^xsin(3x) +217cos x+917sin x -127e^xcos(3x)ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|

Resposta

boxed y =C1e^xcos(3x)+C2e^xsin(3x) +217cos x+917sin x -127e^xcos(3x)ln!l|sec(3x)+tan(3x)r|

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