Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral para a equação diferencial
y^prime prime-a^2 y=2 a e^a xe^a x+e^-a x
onde a>0 é constante. Desenvolva o método.

Passo 1

Vamos resolver a equação
y'' - a^2 y = 2a,e^axe^ax+e^-ax,
onde a>0. O conteúdo aqui é o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular. Primeiro identificamos a solução geral da homogênea e depois ajustamos os parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - a^2 y = 0
Suas raízes características são lambda^2 - a^2=0, ou seja lambda=pm a. Logo, um fundamental de soluções é
y1=e^ax, y2=e^-ax
O Wronskiano vale
W = y1 & y2 y1'&y2' = e^ax & e^-ax a e^ax&-a e^-ax = -2a

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp = u1(x),y1 + u2(x),y2
com as condições auxiliares
u1'y1 + u2'y2 = 0, u1'y1' + u2'y2' = 2a,e^axe^ax+e^-ax
Dessas equações surgem as fórmulas diretas
u1' = -y2cdot l(tfrac2a,e^axe^ax+e^-axr)W, u2' = y1cdot l(tfrac2a,e^axe^ax+e^-axr)W

Passo 4

Substituindo y1,y2,W:
u1' = -e^-ax,2a,e^axe^ax+e^-ax-2a = e^axe^-axe^ax+e^-ax = 1e^ax+e^-ax,
u2' = e^ax,2a,e^axe^ax+e^-ax-2a = -,e^2axe^ax+e^-ax

Passo 5

Integramos cada um:
para u1, note e^ax+e^-ax=(u^2+1)/u com u=e^ax, du=a,e^axdx. Assim
u1 = integral dxe^ax+e^-ax = 1aarctanl(e^axr)
Para u2:
u2 = integral -e^2axe^ax+e^-ax,dx = -1al(e^ax-arctan(e^ax)r)

Passo 6

Logo a solução particular é
yp = u1,e^ax + u2,e^-ax = 1al(arctan(e^ax),e^axr) - 1al(e^ax-arctan(e^ax)r)e^-ax
Fatorando e simplificando fica
yp = 1al((e^ax+e^-ax),arctan(e^ax) - 1r)

Passo 7

Portanto a solução geral da equação é
y(x) = C1 e^ax + C2 e^-ax + 1al((e^ax+e^-ax),arctan(e^ax) - 1r),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x) = C1 e^ax + C2 e^-ax + (e^ax+e^-ax),arctan(e^ax) - 1a

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