Sejam x1=x1(t) e x2=x2(t). Determine a solução geral para o sistema
l x1^prime=2 x1+3 x2 x2^prime=2 x2-3 x1
utilizando autovalores e autovetores.

Passo 1

A gente tem o sistema
x1' = 2x1 + 3x2, x2' = 2x2 - 3x1,
que em forma matricial é X' = A,X com
A = 2 & 3 [6pt] -3 & 2
Para resolver, buscamos soluções do tipo X(t)=v,e^lambda t, o que leva ao problema de autovalores e autovetores de A.]

Passo 2

O polinômio característico de A vem de
det(A - lambda I) = det2-lambda & 3 -3 & 2-lambda = (2-lambda)^2 + 9 = lambda^2 -4lambda +13
Resolvendo lambda^2 -4lambda +13=0 obtemos
lambda1,2 = 4pmraiz16-522 = 2pm 3,i

Passo 3

Para , procuramos em
Da primeira linha segue . Então podemos escolher
]

Passo 4

Uma solução complexa é
X1(t) = e^(2+3i)t1[3pt]i,
e a conjugada X2(t)=X1(t). Para extrair a solução real, tomamos partes real e imaginária de X1(t). Note que
e^(2+3i)t1[3pt]i = e^2te^i3t1[3pt]i = e^2tcos3t + isin3t[3pt]icos3t - sin3t
Logo
Re[X1(t)] = e^2tcos3t[3pt]-sin3t, Im[X1(t)] = e^2tsin3t[3pt]cos3t
A solução geral real é combinação linear:
X(t) = C1,Re[X1(t)] + C2,Im[X1(t)] ]

Resposta

x1(t) = e^2tl(C1cos3t + C2sin3tr), x2(t) = e^2tl(-C1sin3t + C2cos3tr),
onde C1,C2 são constantes reais arbitrárias.

Exercícios relacionados