Considere a equação diferencial
d^2 yd x^2-2 m d yd x+(m^2+k^2) y=0, y=y(t)
onde m e k são constantes positivas.
Escreva a EDO de segunda ordem como um sistema de EDOs de primeira ordem.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
d^2ydx^2 ;-;2m,dydx;+;(m^2+k^2),y ;=;0
com m e k constantes. Queremos transformá-la num sistema de EDOs de primeira ordem, definindo variáveis de estado que representem y e sua derivada.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x1 = y, x2 = dydx
Logo, a derivada de x1 é
x1' = x2

Passo 3

Da EDO original temos
d^2ydx^2 =2m,dydx -l(m^2+k^2r),y =2m,x2-l(m^2+k^2r),x1,
ou seja
x2'=2m,x2-(m^2+k^2),x1

Passo 4

Reunindo, o sistema equivalente de primeira ordem é
x1' = x2, x2' = 2m,x2 - (m^2+k^2),x1,
com x1=y e x2=y'.

Resposta

x1' = x2, x2' = 2m,x2 - (m^2+k^2),x1

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