Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral para a equação diferencial
y^prime prime-a^2 y=a^3e^a x+1
onde a>0 é constante. Desenvolva o método.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
y''-a^2y=a^3e^ax+1,
onde a>0 é constante, usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar (1) encontrar a solução geral da homogênea associada, (2) escolher duas soluções fundamentais y1,y2, (3) calcular o wronskiano W, (4) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter u1' e u2', (5) integrar para obter u1,u2 e (6) montar a solução particular yp.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y''-a^2y=0
A equação característica é r^2-a^2=0, com raízes r=pm a. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1e^ax+C2e^-ax
Escolhemos como base fundamental
y1=e^ax e y2=e^-ax.

Passo 3

Calculamos o wronskiano de y1,y2:
W = y1 & y2 y1' & y2' =e^ax & e^-ax a,e^ax & -a,e^-ax =-2a

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2,f(x)W , u2'=y1,f(x)W,
onde f(x)=dfraca^3e^ax+1. Substituindo:
u1'=-e^-axcdot a^3e^ax+1-2a =a^22,e^-axe^ax+1,
u2'=e^axcdot a^3e^ax+1-2a =-a^22,e^axe^ax+1

Passo 5

Integramos u1'. Faça a troca t=e^ax, dt=a,e^axdx. Então
integral e^-axe^ax+1,dx =integral1/tt+1,dta,t =1aintegraldtt^2(t+1)
e por frações parciais
1t^2(t+1) =-1t+1t^2+1t+1
Integrando,
integrale^-axe^ax+1,dx =-ln t-1t+ln(t+1) =-ln(e^ax)-;e^-ax+lnl(e^ax+1r)
Multiplicando por tfraca^22,
u1 =a^22l[-ax -e^-ax+lnl(e^ax+1r)r] =a2l[lnl(1+e^-axr)-e^-axr]

Passo 6

Agora integramos u2'. Com u=e^ax+1, du=a,e^axdx, obtemos
integrale^axe^ax+1,dx =1alnl(e^ax+1r)
Logo
u2=-a^22cdot1alnl(e^ax+1r) =-a2lnl(e^ax+1r)

Passo 7

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 =a2l[ln(1+e^-ax)-e^-axr]e^ax -a2lnl(e^ax+1r)e^-ax
Pode-se deixar nessa forma ou simplificar usando
ln(1+e^-ax)=ln(e^ax+1)-ax.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1e^ax+C2e^-ax +a2l[ln(1+e^-ax)-e^-axr]e^ax -a2lnl(e^ax+1r)e^-ax

Exercícios relacionados