Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral para a equação diferencial
onde é constante. Desenvolva o método.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea
onde é constante, usando o método de variação de parâmetros. Vamos precisar (1) encontrar a solução geral da homogênea associada, (2) escolher duas soluções fundamentais , (3) calcular o wronskiano , (4) aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para obter e , (5) integrar para obter e (6) montar a solução particular .
Passo 2
Primeiro, resolvemos a homogênea
A equação característica é , com raízes . Logo a solução geral homogênea é
Escolhemos como base fundamental e .
Passo 3
Calculamos o wronskiano de :
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-y2,f(x)W , u2'=y1,f(x)W,
onde f(x)=dfraca^3e^ax+1. Substituindo:
u1'=-e^-axcdot a^3e^ax+1-2a =a^22,e^-axe^ax+1,
u2'=e^axcdot a^3e^ax+1-2a =-a^22,e^axe^ax+1
Passo 5
Integramos u1'. Faça a troca t=e^ax, dt=a,e^axdx. Então
integral e^-axe^ax+1,dx =integral1/tt+1,dta,t =1aintegraldtt^2(t+1)