Começando em Brasília, de quantas maneiras você pode visitar 5 das 26 capitais de estado e retornar a Brasília?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde você começa em Brasília e precisa visitar 5 das 26 capitais dos estados brasileiros, voltando pra Brasília no final. A matéria envolvida aqui é combinatória, mais especificamente permutação, que lida com a contagem de maneiras de organizar ou ordenar coisas. Vamos precisar usar fórmulas de permutação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada uma das 5 capitais que você vai visitar deve ser distinta, ou seja, não pode repetir nenhuma cidade. Além disso, a ordem em que você visita essas cidades importa, porque uma rota diferente (mesmas cidades, mas em ordem diferente) conta como uma maneira diferente de viajar.
Passo 3
Agora, vamos usar a ideia de permutação, que nos ajuda a calcular o número de formas diferentes de ordenar um conjunto de elementos. A fórmula para a permutação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez é:
Onde:
- $ n! $ (fatorial de $ n $) é o produto de todos os números inteiros de 1 até $ n $.
- $ k $ é o número de elementos que queremos escolher e ordenar.
Passo 4
No nosso caso, temos 26 capitais para escolher e vamos visitar 5 delas. Então, $ n = 26 $ e $ k = 5 $. Vamos aplicar esses valores na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar isso. Sabemos que $ 26! = 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21! $, então podemos cancelar o $ 21! $ no numerador e denominador:
Passo 6
Vamos calcular esse produto passo a passo:
Resposta
Então, existem 7.893.600 maneiras diferentes de você visitar 5 das 26 capitais partindo e retornando a Brasília.