Comece com o vetor u0=(1,0). Multiplique repetidamente pela mesma matriz de Markov A=[ll0.8 & 0.3 0.2 & 0.7]. Os três próximos vetores são u1, u2, u3 :
u1=[ll0.8 & 0.3 0.2 & 0.7][l1 0]=[l0.8 0.2], u2=A u1= , u3=A u2= .
Que propriedade você nota para todos os quatro vetores u0, u1, u2, u3 ?

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor inicial u0 = (1,0) e pede para calcular os vetores
u1, u2, u3 sucessivamente aplicando a matriz de Markov
A = 0.8 & 0.3 0.2 & 0.7
Estamos tratando de cadeias de Markov e vamos usar multiplicação de matrizes para obter cada uk+1 = A , uk.

Passo 2

Para u2 = A , u1, como já temos u1 = (0.8,0.2),
u2 = 0.8 & 0.3 0.2 & 0.7 0.8 0.2 = 0.8 cdot 0.8 + 0.3 cdot 0.2 0.2 cdot 0.8 + 0.7 cdot 0.2 = 0.70 0.30

Passo 3

Para u3 = A , u2, com u2 = (0.70,0.30),
u3 = 0.8 & 0.3 0.2 & 0.7 0.70 0.30 = 0.8 cdot 0.70 + 0.3 cdot 0.30 0.2 cdot 0.70 + 0.7 cdot 0.30 = 0.65 0.35

Passo 4

Observando u0=(1,0), u1=(0.8,0.2), u2=(0.70,0.30) e u3=(0.65,0.35), notamos que em cada vetor:
1. As componentes são não-negativas.
2. A soma das componentes é sempre igual a 1.
Isso significa que cada uk é um vetor de probabilidade (distribuição de estado) no simplex.

Resposta

Todas as coordenadas de cada vetor são não-negativas e somam 1, ou seja, cada uk é um vetor de probabilidade.

Exercícios relacionados