Escreva o produto escalar de (1,4,5) e (x, y, z) como uma multiplicação de matriz A x. A matriz A tem uma linha. As soluções para A x=0 estão em um perpendicular ao vetor b. As colunas de A estão apenas em qual R^n ?

Passo 1

O enunciado pede para escrever o produto escalar de (1,4,5) e (x,y,z) como uma multiplicação de matriz Ax, com A tendo uma linha. Em seguida, pergunta em que tipo de conjunto as soluções de Ax=0 se encontram em relação ao vetor b=(1,4,5) e em qual R^n estão as colunas de A. Vamos usar conceitos de produto escalar, núcleo (nullspace) de matriz e espaços de colunas.

Passo 2

Definimos
Então
que é justamente o produto escalar .

Passo 3

O conjunto de soluções de
Ax=0
é o núcleo de A, ou seja
ker(A)=xinR^3mid Ax=0
Como A tem como linha o vetor b=(1,4,5), seu núcleo é o subespaço (plano de dimensão 2) formado por todos os vetores em R^3 perpendiculares a b.

Passo 4

Cada coluna de A é um vetor de dimensão igual ao número de linhas de A. Como A é 1times 3, suas colunas são vetores em R^1.

Resposta

subespaço perpendicular ao vetor b; R^1

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