Comente sobre as diferenças entre os formalismos microcanônico e canônico.

Passo 1

O enunciado pede para compararmos as principais características dos formalismos microcanônico e canônico em mecânica estatística. O conteúdo envolve definir cada ensemble, suas variáveis de controle, distribuições de probabilidade, potenciais termodinâmicos associados e comportamento das flutuações.

Passo 2

No ensemble microcanônico consideramos um sistema isolado, com energia fixa E, volume fixo V e número de partículas fixo N. Todas as microestados compatíveis com esses valores são consideradas equiprováveis, e o número total de microestados é
\Omega(E,V,N)\,.
A entropia é dada pela fórmula de Boltzmann:
S(E,V,N) = k_B \ln \Omega(E,V,N)\,.
A temperatura T aparece implicitamente via
\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}\,.
No ensemble canônico o sistema está em contato térmico com um reservatório a temperatura fixa T, mas o volume V e o número de partículas N permanecem constantes. A energia do sistema \varepsilon_i de cada microestado i pode flutuar, e a probabilidade de ocorrência é
p_i = \frac{e^{-\beta \varepsilon_i}}{Z(\beta,V,N)}\,,\quad \beta = \frac{1}{k_B T}\,,
onde o fator de partição é
Z(\beta,V,N) = \sum_i e^{-\beta \varepsilon_i}\,.
O potencial termodinâmico natural é a energia livre de Helmholtz
F(T,V,N) = -k_B T \ln Z(\beta,V,N)\,,
e as demais grandezas (energia média, entropia, pressão) derivam de F.

Passo 3

Comparando os dois formalismos vemos diferenças centrais:
  1. Variáveis de controle
    • Microcanônico: \{E,V,N\} fixos, sem troca de energia.
    • Canônico: \{T,V,N\} fixos, há troca de energia com o reservatório.
  2. Distribuição de probabilidade
    • Microcanônico: p_i = 1/\Omega para todas as microestados com energia exatamente E.
    • Canônico: p_i \propto e^{-\beta \varepsilon_i}, penalizando estados de energia alta.
  3. Potenciais termodinâmicos
    • Microcanônico: entropia S(E,V,N) é a função fundamental; energia é fixa.
    • Canônico: energia livre F(T,V,N) é a função fundamental; temperatura é fixa.
  4. Flutuações
    • Microcanônico: energia não flutua (distribuição degenerate).
    • Canônico: flutuações de energia têm variância \langle(\Delta E)^2\rangle = k_B T^2 C_V.

Passo 4

No limite termodinâmico ( N\to\infty), ambos os ensembles tornam-se equivalentes, pois as flutuações relativas de energia se tornam negligíveis, e as grandezas termodinâmicas (energia, entropia, etc.) coincidem até correções de ordem 1/N.

Resposta

As diferenças principais são:
  • No microcanônico o sistema é isolado ( E,V,N fixos) e todas as microestados com energia E são equiprováveis, com entropia S = k_B\ln\Omega.
  • No canônico o sistema troca energia com um reservatório ( T,V,N fixos), segue a distribuição de Boltzmann p_i\propto e^{-\beta\varepsilon_i} e o potencial fundamental é F=-k_BT\ln Z.
  • Consequentemente, no microcanônico não há flutuação de energia, enquanto no canônico a energia flutua com variância \langle(\Delta E)^2\rangle=k_BT^2C_V.
  • Em grandes sistemas ( N\to\infty) ambos os ensembles são termodinamicamente equivalentes.

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