Comente sobre as diferenças entre os formalismos microcanônico e canônico.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos as principais características dos formalismos microcanônico e canônico em mecânica estatística. O conteúdo envolve definir cada ensemble, suas variáveis de controle, distribuições de probabilidade, potenciais termodinâmicos associados e comportamento das flutuações.
Passo 2
No ensemble microcanônico consideramos um sistema isolado, com energia fixa
, volume fixo
e número de partículas fixo
. Todas as microestados compatíveis com esses valores são consideradas equiprováveis, e o número total de microestados é
A entropia é dada pela fórmula de Boltzmann:
A temperatura
aparece implicitamente via
No ensemble canônico o sistema está em contato térmico com um reservatório a temperatura fixa
, mas o volume
e o número de partículas
permanecem constantes. A energia do sistema
de cada microestado
pode flutuar, e a probabilidade de ocorrência é
onde o fator de partição é
O potencial termodinâmico natural é a energia livre de Helmholtz
e as demais grandezas (energia média, entropia, pressão) derivam de
.
Passo 3
Comparando os dois formalismos vemos diferenças centrais:
- Variáveis de controle
- Microcanônico:
fixos, sem troca de energia. - Canônico:
fixos, há troca de energia com o reservatório.
- Microcanônico:
- Distribuição de probabilidade
- Microcanônico:
para todas as microestados com energia exatamente . - Canônico:
, penalizando estados de energia alta.
- Microcanônico:
- Potenciais termodinâmicos
- Microcanônico: entropia
é a função fundamental; energia é fixa. - Canônico: energia livre
é a função fundamental; temperatura é fixa.
- Microcanônico: entropia
- Flutuações
- Microcanônico: energia não flutua (distribuição degenerate).
- Canônico: flutuações de energia têm variância
.
Passo 4
No limite termodinâmico (
), ambos os ensembles tornam-se equivalentes, pois as flutuações relativas de energia se tornam negligíveis, e as grandezas termodinâmicas (energia, entropia, etc.) coincidem até correções de ordem
.
Resposta
As diferenças principais são:
- No microcanônico o sistema é isolado (
fixos) e todas as microestados com energia são equiprováveis, com entropia . - No canônico o sistema troca energia com um reservatório (
fixos), segue a distribuição de Boltzmann e o potencial fundamental é . - Consequentemente, no microcanônico não há flutuação de energia, enquanto no canônico a energia flutua com variância
. - Em grandes sistemas (
) ambos os ensembles são termodinamicamente equivalentes.