Deduza os potenciais F, Ge H utilizando as transformadas de Legendre.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir os potenciais termodinâmicos energia livre de Helmholtz F, entalpia H e energia livre de Gibbs G a partir da energia interna U(S,V,N) usando transformadas de Legendre. O conteúdo principal é o conceito de transformada de Legendre aplicado à termodinâmica: a cada variável extesiva substituída pelo seu conjugado intensivo, define-se um novo potencial que torna esse intensivo sua variável natural.

Passo 2

Para obter o potencial F(T,V,N) (energia livre de Helmholtz) fazemos a transformada de Legendre de U em relação à entropia S. Em geral, se temos um potencial f(x,y) e seu conjugado u=\partial f/\partial x, definimos
g(u,y)=f(x,y)-u\,x\quad\text{com}\quad u=\frac{\partial f}{\partial x}.
Aplicando isso a U(S,V,N), tomamos
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N},
e definimos
F(T,V,N)=U(S,V,N)-T\,S.
Usando dU=T\,dS - P\,dV + \mu\,dN e fazendo dF=dU - T\,dS - S\,dT, obtemos
dF = -\,S\,dT \;-\;P\,dV \;+\;\mu\,dN,
o que mostra que F tem variáveis naturais T,V,N.

Passo 3

Para obter o potencial H(S,P,N) (entalpia) fazemos a transformada de Legendre de U em relação ao volume V. Identificamos
P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N},
e definimos
H(S,P,N)=U(S,V,N)+P\,V.
Usando dU e fazendo dH=dU + P\,dV + V\,dP, segue
dH = T\,dS \;+\;V\,dP \;+\;\mu\,dN,
de modo que H tem variáveis naturais S,P,N.

Passo 4

Para obter o potencial G(T,P,N) (energia livre de Gibbs) aplicamos transformadas de Legendre simultâneas de U em S e V. Com
T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}, \quad P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N},
definimos
G(T,P,N)=U(S,V,N)-T\,S+P\,V.
Fazendo o diferencial
dG = dU - T\,dS - S\,dT + P\,dV + V\,dP
e usando dU, resulta
dG = -\,S\,dT \;+\;V\,dP \;+\;\mu\,dN,
o que confirma que G tem variáveis naturais T,P,N.

Resposta

F(T,V,N)=U(S,V,N)-T\,S
H(S,P,N)=U(S,V,N)+P\,V
G(T,P,N)=U(S,V,N)-T\,S+P\,V

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