Partindo do Hamiltoniano de uma partícula livre, encontre os potenciais termodinâmicos F, G e H.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir do Hamiltoniano de uma partícula livre de massa m
\mathcal H(p)=\frac{p^2}{2m},
no volume V em equilíbrio térmico à temperatura T, calcular os potenciais termodinâmicos:
– Energia livre de Helmholtz F
– Energia livre de Gibbs G
– Entalpia H
Usaremos o formalismo canônico para obter a função de partição Z e, a partir dela, os demais potenciais.

Passo 2

A função de partição canônica é
Z=\frac{1}{h^3}\int_V d^3q\int_{\mathbb R^3}d^3p\;e^{-\beta\,\mathcal H(p)} =\frac{V}{h^3}\bigl(2\pi m kT\bigr)^{3/2},
onde \beta=1/(kT) e h é a constante de Planck.

Passo 3

A energia livre de Helmholtz é
F=-kT\ln Z =-kT\Bigl[\ln V+\tfrac{3}{2}\ln(2\pi m kT)-3\ln h\Bigr].

Passo 4

A energia interna resulta de
U=-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} =\frac{3}{2}kT,
e a pressão, da equação de estado de gás ideal, é
p=\frac{kT}{V}.

Passo 5

A energia livre de Gibbs satisfaz
G=F+pV =-kT\Bigl[\ln V+\tfrac{3}{2}\ln(2\pi m kT)-3\ln h\Bigr]+kT.

Passo 6

A entalpia é definida por
H_{\text{entalpia}}=U+pV =\frac{3}{2}kT+kT =\frac{5}{2}kT.

Resposta

F : -kT\bigl[\ln V+\tfrac{3}{2}\ln(2\pi m kT)-3\ln h\bigr]
G : -kT\bigl[\ln V+\tfrac{3}{2}\ln(2\pi m kT)-3\ln h\bigr]+kT
H : \tfrac{5}{2}kT

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